发布时间 : 星期二 文章2020版高考数学大一轮复习第六章平面向量与复数第3节平面向量的数量积及其应用理解析版新人教A版更新完毕开始阅读a2ea2ec653ea551810a6f524ccbff121dc36c5ed
第3节 平面向量的数量积及其应用
考试要求 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.
知 识 梳 理
1.平面向量数量积的有关概念
→→(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，记OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.
(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则a与b的数量积(或内积)a·b＝|a||b|cos__θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos__θ的乘积.
2.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角. (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. (2)模：|a|＝a·a＝x1＋y1. (3)夹角：cos θ＝
2
2
a·bx1x2＋y1y2
＝2. 222
|a||b|x1＋y1·x2＋y2
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)?|x1x2＋y1y2|≤ x1＋y1·x2＋y2. 3.平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律). (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). [微点提醒]
1.两个向量a，b的夹角为锐角?a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角?a·b<0且a，b不共线.
2.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a－b. (2)(a＋b)＝a＋2a·b＋b.
2
2
22
2
2
2
2
2
1
(3)(a－b)＝a－2a·b＋b.
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
222
?π?(1)两个向量的夹角的范围是?0，?.( )
2??
(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.( )
(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( ) (4)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.( ) 解析 (1)两个向量夹角的范围是[0，π].
(4)由a·b＝a·c(a≠0)得|a||b|·cos〈a，b〉＝|a||c|·cos〈a，c〉，所以向量b和c不一定相等.
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2.(必修4P108A10改编)设a，b是非零向量.“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 设a与b的夹角为θ.因为a·b＝|a|·|b|cos θ＝|a|·|b|，所以cos θ＝1，即
a与b的夹角为0°，故a∥b.
当a∥b时，a与b的夹角为0°或180°， 所以a·b＝|a|·|b|cos θ＝±|a|·|b|，
所以“a·b＝|a|·|b|”是“a∥b”的充分而不必要条件. 答案 A
→→
3.(必修4P108A2改编)在圆O中，长度为2的弦AB不经过圆心，则AO·AB的值为________. →→→→→→→→1→解析 设向量AO，AB的夹角为θ，则AO·AB＝|AO||AB|·cos θ＝|AO|cos θ·|AB|＝|AB2→12
|·|AB|＝×(2)＝1.
2答案 1
4.(2018·全国Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( ) A.4
B.3
2
2
C.2 D.0
解析 a·(2a－b)＝2|a|－a·b＝2×1－(－1)＝3. 答案 B
5.(2018·上海嘉定区调研)平面向量a与b的夹角为45°，a＝(1，1)，|b|＝2，则|3a＋
2
b|等于( )
A.13＋62 C.30
2
B.25 D.34
2
解析 依题意得a＝2，a·b＝2×2×cos 45°＝2，|3a＋b|＝（3a＋b）＝9a＋6a·b＋b＝18＋12＋4＝34. 答案 D
6.(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a＝(－1，2)，b＝(m，1).若向量a＋b与a垂直，则m＝________.
解析 由题意得a＋b＝(m－1，3)，
因为a＋b与a垂直，所以(a＋b)·a＝0，所以－(m－1)＋2×3＝0，解得m＝7. 答案 7
考点一 平面向量数量积的运算
【例1】 (1)若向量m＝(2k－1，k)与向量n＝(4，1)共线，则m·n＝( ) A.0
B.4
9C.－
2
17D.－
2
2
2
→→→
(2)(2018·天津卷)在如图的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，BM＝2MA，CN→→→
＝2NA，则BC·OM的值为( )
A.－15
B.－9
C.－6
D.0
1
解析 (1)由题意得2k－1－4k＝0，解得k＝－，
21??即m＝?－2，－?， 2??
17?1?所以m·n＝－2×4＋?－?×1＝－.
2?2?
→→→→→→→→→→→
(2)连接OA.在△ABC中，BC＝AC－AB＝3AN－3AM＝3(ON－OA)－3(OM－OA)＝3(ON－OM)， →→→→→→→→22
∴BC·OM＝3(ON－OM)·OM＝3(ON·OM－OM)＝3×(2×1×cos 120°－1)＝3×(－2)＝－6.
答案 (1)D (2)C
规律方法 1.数量积公式a·b＝|a||b|cos θ在解题中的运用，解题过程具有一定的技巧
3
性，需要借助向量加、减法的运算及其几何意义进行适当变形；也可建立平面直角坐标系，借助数量积的坐标运算公式a·b＝x1x2＋y1y2求解，较为简捷、明了.
2.在分析两向量的夹角时，必须使两个向量的起点重合，如果起点不重合，可通过“平移”实现.
π
【训练1】 (1)在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝，D是AC的中点，E在BC上，且AE⊥BD，
2→→
则AE·BC等于( ) A.16
B.12
C.8
D.－4
(2)(2019·皖南八校三模)已知|a|＝|b|＝1，向量a与b的夹角为45°，则(a＋2b)·a＝________.
解析 (1)以B为原点，BA，BC所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系(图略)，A(4，→→
0)，B(0，0)，C(0，6)，D(2，3).设E(0，t)，BD·AE＝(2，3)·(－4，t)＝－8＋3t＝0，8?8?∴t＝，即E?0，?， 3?3?
8?→→?
AE·BC＝?－4，?·(0，6)＝16.
3??
(2)因为|a|＝|b|＝1，向量a与b的夹角为45°，
所以(a＋2b)·a＝a＋2a·b＝|a|＋2|a|·|b|cos 45°＝1＋2. 答案 (1)A (2)1＋2 考点二 平面向量数量积的应用 角度1 平面向量的垂直
【例2－1】 (1)(2018·北京卷)设向量a＝(1，0)，b＝(－1，m).若a⊥(ma－b)，则m＝________.
→→→→
(2)(2019·宜昌二模)已知△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若AP＝λAB＋AC，且AP→
⊥BC，则实数λ的值为( ) 22A. 15
10B. 3
2
2
2
多维探究
C.6 D.
12 7
解析 (1)a＝(1，0)，b＝(－1，m)，∴a＝1，a·b＝－1， 由a⊥(ma－b)得a·(ma－b)＝0，即ma－a·b＝0. ∴m－(－1)＝0，∴m＝－1. →→→→→
(2)因为AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，
→→→→→→→→→2→2→→→→
所以有AP·BC＝(λAB＋AC)·(AC－AB)＝λAB·AC－λAB＋AC－AB·AC＝(λ－1)AB·AC→2→2
－λAB＋AC＝0，
4
2