发布时间 : 星期一 文章2020版高考数学大一轮复习第六章平面向量与复数第3节平面向量的数量积及其应用理解析版新人教A版更新完毕开始阅读a2ea2ec653ea551810a6f524ccbff121dc36c5ed
整理可得(λ－1)×3×4×cos 120°－9λ＋16＝0， 22
解得λ＝.
15答案 (1)－1 (2)A
规律方法 1.当向量a，b是非坐标形式时，要把a，b用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算.
2.数量积的运算a·b＝0?a⊥b中，是对非零向量而言的，若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b.
角度2 平面向量的模
【例2－2】 (1)已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________.
(2)(2019·杭州调研)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是→→
腰DC上的动点，则|PA＋3PB|的最小值为________.
解析 (1)由α⊥(α－2β)得α·(α－2β)＝α－2α·β＝0， 1
所以α·β＝，
2
122222
所以(2α＋β)＝4α＋β＋4α·β＝4×1＋2＋4×＝10，
2所以|2α＋β|＝10.
(2)建立平面直角坐标系如图所示，则A(2，0)，
2
设P(0，y)，C(0，b)，则B(1，b).
→→
所以PA＋3PB＝(2，－y)＋3(1，b－y)＝(5，3b－4y)， →→2所以|PA＋3PB|＝25＋（3b－4y）(0≤y≤b)， 3→→
所以当y＝b时，|PA＋3PB|取得最小值5.
4答案 (1)10 (2)5
规律方法 1.求向量的模的方法：(1)公式法，利用|a|＝a·a及(a±b)＝|a|±2a·b＋|b|，把向量的模的运算转化为数量积运算；(2)几何法，利用向量的几何意义.
2.求向量模的最值(范围)的方法：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求
2
2
2
5
最值的方法求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.
角度3 平面向量的夹角
23
【例2－3】 (1)(2019·衡水中学调研)已知非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝|a|，
3则向量a＋b与a－b的夹角为________.
(2)若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________.
解析 (1)将|a＋b|＝|a－b|两边平方，得a＋b＋2a·b＝a＋b－2a·b，∴a·b＝0. 234222
将|a＋b|＝|a|两边平方，得a＋b＋2a·b＝a，
33122
∴b＝a.
3
设a＋b与a－b的夹角为θ，
22a3（a＋b）·（a－b）a－b1
∴cos θ＝＝＝＝. |a＋b|·|a－b|4222323
|a|·|a|3a33
2
22
2
2
2
π
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝. 3(2)∵2a－3b与c的夹角为钝角， ∴(2a－3b)·c<0，
即(2k－3，－6)·(2，1)<0，解得k＜3. 又若(2a－3b)∥c， 9
则2k－3＝－12，即k＝－.
2
9
当k＝－时，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c，
2此时2a－3b与c反向，不合题意.
9??9??综上，k的取值范围为?－∞，－?∪?－，3?. 2??2??9??9?π?答案 (1) (2)?－∞，－?∪?－，3? 2??2?3?
规律方法 1.研究向量的夹角应注意“共起点”；两个非零共线向量的夹角可能是0或π；注意向量夹角的取值范围是[0，π]；若题目给出向量的坐标表示，可直接套用公式cos θ＝
x1x2＋y1y2
求解. 222
x21＋y1·x2＋y2
6
2.数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.
【训练2】 (1)已知向量a＝(－2，3)，b＝(3，m)，且a⊥b，则m＝________.
(2)(一题多解)(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
(3)(2017·山东卷)已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若3e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________. 解析 (1)由a⊥b，得a·b＝0， 又a＝(－2，3)，b＝(3，m)， ∴－6＋3m＝0，则m＝2.
(2)法一 |a＋2b|＝（a＋2b）＝a＋4a·b＋4b ＝2＋4×2×1×cos 60°＋4×1＝12＝23. 法二 (数形结合法)
→由|a|＝|2b|＝2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝|OC|.
2
22
2
2
又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝23. (3)由题意知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，
|3e1－e2|＝（3e1－e2）＝3e1－23e1·e2＋e2＝3－0＋1＝2. 同理|e1＋λe2|＝1＋λ.
（3e1－e2）·（e1＋λe2）
所以cos 60°＝ |3e1－e2||e1＋λe2|＝
3e1＋（3λ－1）e1·e2－λe2
21＋λ3. 3
3 3
22
2
2
2
2
2
3－λ1＝＝， 221＋λ2
解得λ＝答案 (1)2 (2)23 (3)
考点三 平面向量与三角函数
【例3】 (2019·潍坊摸底)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A3
－B)，sin(A－B))，n＝(cos B，－sin B)，且m·n＝－.
5
7
(1)求sin A的值；
→→
(2)若a＝42，b＝5，求角B的大小及向量BA在BC方向上的投影. 3
解 (1)由m·n＝－，
5
3
得cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－，
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所以cos A＝－.因为0 5所以sin A＝1－cosA＝ 2 ?3?41－?－?＝. ?5?5 b2 (2)由正弦定理，得＝， sin Asin B45×5bsin A2 则sin B＝＝＝， a422 π 因为a>b，所以A>B，且B是△ABC一内角，则B＝. 4 a?3?222 由余弦定理得(42)＝5＋c－2×5c×?－?， ?5? 解得c＝1，c＝－7舍去， 22→→→ 故向量BA在BC方向上的投影为|BA|cos B＝ccos B＝1×＝. 22规律方法 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路： (1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解. (2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等. 【训练3】 (2019·石家庄模拟)已知A，B，C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角，向量 m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，且m·n＝sin 2C. (1)求角C的大小； →→→ (2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且CA·(AB－AC)＝18，求边c的长. 解 (1)由已知得m·n＝sin Acos B＋cos Asin B ＝sin(A＋B)， 因为A＋B＋C＝π， 所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C， 所以m·n＝sin C，又m·n＝sin 2C， 8