发布时间 : 星期二 文章2020鐗堥珮鑰冩暟瀛﹀ぇ涓�杞涔犵鍏珷骞抽潰鍚戦噺涓庡鏁扮3鑺傚钩闈㈠悜閲忕殑鏁伴噺绉強鍏跺簲鐢ㄧ悊瑙ｆ瀽鐗堟柊浜烘暀A鐗?- 鐧惧害鏂囧簱更新完毕开始阅读a2ea2ec653ea551810a6f524ccbff121dc36c5ed
3.(2019·石家庄二模)若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则向量a＋b与a的夹角为( ) πA. 3
2πB. 3
C.5π 6
D.π 6
解析 设|b|＝1，则|a＋b|＝|a－b|＝2. 由|a＋b|＝|a－b|，得a·b＝0，
故以a、b为邻边的平行四边形是矩形，且|a|＝3， 设向量a＋b与a的夹角为θ，
a·（a＋b）a2＋a·b|a|3
则cos θ＝＝＝＝，
|a|·|a＋b||a|·|a＋b||a＋b|2
π
又0≤θ≤π，所以θ＝.
6答案 D
4.如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝4，BC＝CD＝2，若E，F分别是边BC，AB上的点，且满
BEAF→→
足＝＝λ，则当AE·DF＝0时，λ的值所在的区间是( ) BCAB
?11?A.?，? ?84??31?C.?，? ?82?
?13?B.?，? ?48??15?D.?，? ?28?
解析 在等腰梯形ABCD中，AB＝4，BC＝CD＝2， →→
可得〈AD，BC〉＝60°，
→→→→所以〈AB，AD〉＝60°，〈AB，BC〉＝120°， 1→→
所以AB·AD＝4×2×＝4，
2
1→→→→?1?AB·BC＝4×2×?－?＝－4，AD·BC＝2×2×＝2， 2?2?
BEAF→→→→
又＝＝λ，所以BE＝λBC，AF＝λAB， BCAB→→→→→则AE＝AB＋BE＝AB＋λBC， →→→→→DF＝AF－AD＝λAB－AD，
→→→→→→所以AE·DF＝(AB＋λBC)·(λAB－AD)
13
→2→→→→→2→
＝λAB－AB·AD＋λAB·BC－λAD·BC＝0，
7＋337－33?13?2
即2λ－7λ＋2＝0，解得λ＝(舍去)或λ＝∈?，?.
44?48?答案 B
5.(2017·浙江卷)如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD→→→→→→
交于点O.记I1＝OA·OB，I2＝OB·OC，I3＝OC·OD，则( )
A.I1＜I2＜I3 C.I3＜I1＜I2
B.I1＜I3＜I2 D.I2＜I1＜I3
解析 如图所示，四边形ABCE是正方形，F为正方形的对角线的交点，易得AO →→→→→→→→→→→ 根据题意，I1－I2＝OA·OB－OB·OC＝OB·(OA－OC)＝OB·CA＝|OB||CA|·cos∠AOB<0，∴I1 →→→→ 又AB＝AD，∴OB 而cos∠AOB＝cos∠COD<0，∴OA·OB>OC·OD， 即I1>I3.∴I3 6.(2019·杭州二模)在△ABC中，三个顶点的坐标分别为A(3，t)，B(t，－1)，C(－3，－1)，若△ABC是以B为直角顶点的直角三角形，则t＝________. →→ 解析 由已知，得BA·BC＝0， 则(3－t，t＋1)·(－3－t，0)＝0， ∴(3－t)(－3－t)＝0，解得t＝3或t＝－3， 当t＝－3时，点B与点C重合，舍去.故t＝3. 答案 3 7.若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a，b夹角θ的余弦值为________. 14 解析 |a|＝|a＋2b|，两边平方得， |a|＝|a|＋4|b|＋4a·b＝|a|＋4|b|＋4|a||b|·cos θ. 又|a|＝3|b|， 122 所以0＝4|b|＋12|b|cos θ，得cos θ＝－. 31 答案 － 3 8.(2019·佛山二模)在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2，AB＝1，D为BC的中点，E在斜边 2 2 2 2 2 AC上，若AE＝2EC，则DE·AC＝________. 解析 如图，以B为坐标原点，AB所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，建立平面直角坐→ 标系，则B(0，0)，A(1，0)，C(0，2)，所以AC＝(－1，2). →→→→ 因为D为BC的中点，所以D(0，1)， →→?14?因为AE＝2EC，所以E?，?， ?33?→?11?所以DE＝?，?， ?33? 121→→?11? 所以DE·AC＝?，?·(－1，2)＝－＋＝. 333?33?1 答案 3三、解答题 9.在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1). (1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长； →→→ (2)设实数t满足(AB－tOC)·OC＝0，求t的值. →→ 解 (1)由题设知AB＝(3，5)，AC＝(－1，1)， →→→→ 则AB＋AC＝(2，6)，AB－AC＝(4，4). →→→→ 所以|AB＋AC|＝210，|AB－AC|＝42. 故所求的两条对角线的长分别为42，210. →→→ (2)由题设知：OC＝(－2，－1)，AB－tOC＝(3＋2t，5＋t). 15 →→→ 由(AB－tOC)·OC＝0，得 (3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0， 从而5t＝－11，所以t＝－ 11. 5 10.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(－1，2)，又点A(8，0)，B(n，t)， C(ksin θ，t)(0≤θ≤π2 ). (1)若→AB⊥a，且|→AB|＝5|→OA|，求向量→OB； (2)若向量→AC与向量a共线，当k>4，且tsin θ取最大值4时，求→OA·→ OC. 解 (1)由题设知→ AB＝(n－8，t)， ∵→ AB⊥a，∴8－n＋2t＝0. 又∵5|→OA|＝|→ AB|， ∴5×64＝(n－8)2 ＋t2 ＝5t2 ，得t＝±8. 当t＝8时，n＝24；当t＝－8时，n＝－8， ∴→OB＝(24，8)或→ OB＝(－8，－8). (2)由题设知→ AC＝(ksin θ－8，t)， ∵→ AC与a共线，∴t＝－2ksin θ＋16， tsin θ＝(－2ksin θ＋16)sin θ ＝－2k(sin θ－4232 k)＋k. ∵k>4，∴0<4 k<1， ∴当sin θ＝4k时，tsin θ取得最大值32 k. 由32 k＝4，得k＝8， 此时θ＝π→ 6，OC＝(4，8)， ∴→OA·→ OC＝(8，0)·(4，8)＝32. 能力提升题组 (建议用时：20分钟) 11.在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，点P满足CP＝2，则→PA·→ PB的最大值为( A.9 B.16 C.18 D.25 ) 16