发布时间 : 星期四 文章2020高考数学(文)刷题卷单元测试二：函数导数及其应用(含解析)更新完毕开始阅读a307b89074eeaeaad1f34693daef5ef7bb0d126c
20．(2018·山东临沂一中月考)(本小题满分12分)据某气象中心观察和预测：发生于
M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(单位：km/h)与时间t(单位：h)的函数图
象如图所示．过线段OC上一点T(t，0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即时间t内沙尘暴所经过的路程s(单位：km)．
(1)当t＝4时，求s的值；
(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；
(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．
解 (1)由题中给出的函数图象可知，当t＝4时，v＝3×4＝12(km/h)， 1
∴s＝×4×12＝24(km)．
2
132
(2)当0≤t≤10时，s＝·t·3t＝t；
22
1
当10 2 11 当20 22＋70t－550. 3??2t，t∈[0，10]， 综上可知，s＝?30t－150，t∈?10，20]， ??－t＋70t－550，t∈?20，35]. 22 32 (3)∵t∈[0，10]时，smax＝×10＝150<650， 2 t∈(10，20]时，smax＝30×20－150＝450<650， ∴当t∈(20，35]时，令－t＋70t－550＝650， 解得t＝30. 故沙尘暴发生30 h后将侵袭到N城． 21．(2018·湖南六校联考)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝xsinx＋cosx(x>0)． (1)当x∈(0，2π)时，求f(x)的极值； 1111* (2)记xi为f(x)的从小到大的第i(i∈N)个极值点，证明：2＋2＋…＋2<(n≥2，nx2x3xn9∈N)． 解 (1)f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx ＝xcosx，x∈(0，2π)， π3π 由f′(x)＝0得x＝或， 22 π3ππ3π ∴f(x)在0，，，2π上单调递增，在，上单调递减． 22223π3π 则f(x)极小值＝f＝－， 22 2 f(x)极大值＝f＝. ?2i－1?π* (2)证明：由f′(x)＝0，x>0得xi＝(i∈N)． 21∵2＝ ππ22 xi422 22<2·2?2i－1?ππ?2i－1?－1 ＝＝ 22 2·π?2i－2?·2i211* －(i≥2，i∈N)， 2·π2i－22i111211111111∴2＋2＋…＋2<2－＋－＋－＋…＋－ x2x3xnπ2446682n－22n＝ 2112111 <2·＝2<. 2－ π22nπ2π9 22．(2018·太原五中模拟)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln x＋mx(m为常数)． (1)讨论函数f(x)的单调区间； 3212 (2)当m≤－时，设g(x)＝f(x)＋x的两个极值点x1，x2(x1 x1＋x2 2 的最小值． 11＋mx解 (1)f′(x)＝＋m＝，x>0， xx 1 当m<0时，由1＋mx>0，解得x<－， m1 即当0 m1 由1＋mx<0，解得x>－， m1 即当x>－时，f′(x)<0，f(x)单调递减； m当m≥0时，1＋mx>0，故f′(x)>0， 即f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 1 所以当m<0时，f(x)的单调递增区间为0，－， m1 单调递减区间为－，＋∞； m当m≥0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间． 12 (2)由g(x)＝ln x＋mx＋x(x>0)，得 21x＋mx＋1 g′(x)＝＋m＋x＝， 2 xx由已知得方程x＋mx＋1＝0有两个互异实根x1，x2， 由根与系数的关系得x1＋x2＝－m，x1x2＝1， 因为x1，x2(x1 2 h(x1)＝2ln x1－x21－ax1＝0， ① h(x2)＝2ln x2－x22－ax2＝0， ② 由②－①得2ln －(x2－x1)－a(x2－x1)＝0， 2ln x1 解得a＝－(x2＋x1)， x2－x12 因为h′(x)＝－2x－a，得 x2x1 22 x2 xx1＋x24x1＋x2h′＝－2·－a， 2x1＋x22 2ln x1 将a＝－(x2＋x1)代入上式得 x2－x1 2ln 2ln x1x1x1＋x24x1＋x24 h′＝－2·－－(x2＋x1)＝－＋ 2x1＋x22x2－x1x2－x1x1＋x2 x2 x2x2 ＝－ 2x22?x2－x1? ln － x2－x1x1x1＋x2 x2 －1x12x2 ＝－ln －2·， x2－x1x1x2 ＋1x1 所以y＝(x1－x2)h′ x1＋x2 2 x2 －1x1x2x2 ＝2ln －2·，设t＝>1， x1x2x1 ＋1x1 92222 因为(x1＋x2)＝x1＋x2＋2x1x2＝m≥， 25x1＋x2x1x25 所以x＋x≥，所以＝＋≥， 2x1x2x2x12 2 1 22 2 2 15 所以t＋≥，所以t≥2. t2构造F(t)＝ln t－2·1 F′(t)＝－ t－1 ，得 t＋1 2 t4?t－1?2＝2>0， ?t＋1?t?t＋1? 则F(t)＝ln t－2· t－1 在[2，＋∞)上是增函数， t＋1 2 所以F(t)min＝F(2)＝ln 2－， 3故y＝(x1－x2)h′ x1＋x2 24 的最小值为2ln 2－. 3