发布时间 : 星期一 文章2019届北京市海淀区高三上学期期末考试数学（理）试题（解析版）更新完毕开始阅读a329308d951ea76e58fafab069dc5022abea4614
设 ，所以 所以
其对称轴为
当，即时，在时函数取得最小值
当【点睛】
，即时，在时函数取得最小值
本题主要考查三角函数的性质.三角函数的性质问题处理方法为：先利用公式把目标函数式化为基本类型，再结合类型特征求解.
16．为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核.记表示学生的考核成绩，并规定
为考核优秀.为了了解本
次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：
（Ⅰ）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率；
（Ⅱ）从图中考核成绩满足
的学生中任取3人，设表示这3人中成绩满足
的人数，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）根据以往培训数据，规定当
此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理由.
时培训有效.请根据图中数据，判断
【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）； （Ⅲ）所以可以认为此次冰雪培训活动有效.
【解析】（Ⅰ）利用古典概率的求解方法求解；（Ⅱ）先求的所有可能的值，再求解分
布列和期望；（Ⅲ）先求，再根据结果判断. 第 9 页 共 22 页
【详解】
（Ⅰ）设该名学生考核成绩优秀为事件 由茎叶图中的数据可以知道，
名同学中，有名同学考核优秀
所以所求概率约为
的学生有人
（Ⅱ）的所有可能取值为因为成绩
的学生共有人，其中满足
所以，
，
随机变量的分布列为
（Ⅲ）根据表格中的数据，满足的成绩有个
所以
所以可以认为此次冰雪培训活动有效. 【点睛】
本题主要考查实际生活背景下的概率统计问题，侧重统计图表的识别和概率的求解.分布列和期望求解时，注意随机变量取值的确定及对应概率求解. 17．在四棱锥
中，平面
平面
，底面
为梯形，
，
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且
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求二面角B-PD-C的余弦值；
（Ⅲ）若M是棱PA的中点，求证：对于棱BC上任意一点F，MF与PC都不平行.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）； （Ⅲ）见解析.
【解析】（Ⅰ）利用平面和平面垂直得到线面垂直； （Ⅱ）利用空间向量求解法向量，从而计算出二面角； （Ⅲ）利用反证法或者向量求解. 【详解】 （Ⅰ）在平面因为平面
平面平面所以因为所以又所以
平面平面平面 ，且平面
平面
所在直线分别为
轴，建立空间直角坐标系
，所以
中过点作平面
，交
于
（Ⅱ）因为又
，
以为原点，
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所以因为设平面
平面
，所以取平面
，
的法向量为
的法向量为
因为，所以
所以令
，则
，所以
所以
由题知（Ⅲ） 法一： 假设棱所以所以所以所以就是点这与法二： 假设棱连接在
为锐角，所以的余弦值为
上存在点，使得四点共面于 ，
，
，显然与点不同
确定的平面，所以
为四棱锥矛盾，所以假设错误，即问题得证
上存在点，使得，取其中点 中，因为
分别为
的中点，所以 与 重合
因为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行，所以所以点在线段而
与
上，所以是
，
的交点，即
就是
相交，矛盾，所以假设错误，问题得证
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