发布时间 : 星期五 文章高考数学一轮复习 第五章 数列 5.3 等比数列及其前n项和更新完毕开始阅读a33663ceee3a87c24028915f804d2b160b4e86d7
【步步高】（浙江通用）2017版高考数学一轮复习 第五章 数列 5.3
等比数列及其前n项和
1．等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示(q≠0)． 2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·q3．等比中项
若G＝a·b (ab≠0)，那么G叫做a与b的等比中项． 4．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am·qn－m2
n－1
.
(n，m∈N)．
*
1
(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n (k，l，m，n∈N)，则ak·al＝am·an.
?1??an?2
(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，??，{an}，{an·bn}，??仍是
?an?
?bn?
*
等比数列．
5．等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn， 当q＝1时，Sn＝na1；
a11－qna1－anq当q≠1时，Sn＝＝.
1－q1－q6．等比数列前n项和的性质
公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为 q . 【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)满足an＋1＝qan(n∈N，q为常数)的数列{an}为等比数列．( × ) (2)G为a，b的等比中项?G＝ab.( × )
(3)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．( × ) (4)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．( × )
2
*
na1－an(5)数列{an}的通项公式是an＝a，则其前n项和为Sn＝.( × )
1－an(6)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．( × )
1．(2015·课标全国Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7等于( ) A．21 B．42 C．63 D．84 答案 B
2
解析 设等比数列{an}的公比为q，则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21得3(1＋q＋q)＝21，解得
24
q2＝－3(舍去)或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42，故选B.
2．设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6等于( ) A．31 B．32 C．63 D．64 答案 C
解析 根据题意知，等比数列{an}的公比不是－1.由等比数列的性质，得(S4－S2)＝S2·(S6－S4)，即12＝3×(S6－15)，解得S6＝63.故选C.
3．等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lg an}的前8项和等于( ) A．6 B．5 C．4 D．3 答案 C
解析 数列{lg an}的前8项和S8＝lg a1＋lg a2＋…＋lg a8＝lg(a1·a2·…·a8)＝lg(a1·a8) ＝lg(a4·a5)＝lg(2×5)＝4.
4．(2015·安徽)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于 ． 答案 2－1
??a1a4＝8，解析 由等比数列性质知a2a3＝a1a4，又a2a3＝8，a1＋a4＝9，所以联立方程?
?a1＋a4＝9，???a1＝1，
解得?
?a4＝8?
n4
4
4
2
2
??a1＝8，
或?
?a4＝1，?
3
又∵数列{an}为递增数列，
∴a1＝1，a4＝8，从而a1q＝8，∴q＝2. 1－2n∴数列{an}的前n项和为Sn＝＝2－1.
1－2
5．(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为 ． 答案 27,81
解析 设该数列的公比为q，由题意知， 243＝9×q，q＝27，∴q＝3.
∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.
3
3
n 3
题型一 等比数列基本量的运算
例1 (1)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于( )
15313317A. B. C. D. 2442
(2)在等比数列{an}中，若a4－a2＝6，a5－a1＝15，则a3＝ . 答案 (1)B (2)4或－4
a1q·a1q＝1，??
解析 (1)显然公比q≠1，由题意得?a11－q3
＝7，??1－qa1＝4，??
解得?1
q＝，??2
3
a1＝9??
或?1
q＝－?3?
11－5
211－2
＝(舍去)，
a11－q5
∴S5＝
1－q4＝31. 4
3
??a1q－a1q＝6，
(2)设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，则?4
?a1q－a1＝15，?
q22
两式相除，得2＝，即2q1＋q5
1
－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝.
2
??a1＝1，所以?
?q＝2，?
a1＝－16，??
或?1
q＝.??2
故a3＝4或a3＝－4.
思维升华 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，
4