发布时间 : 星期六 文章高考数学一轮复习 第五章 数列 5.3 等比数列及其前n项和更新完毕开始阅读a33663ceee3a87c24028915f804d2b160b4e86d7
an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．
(1)在正项等比数列{an}中，an＋1＜an，a2·a8
＝6，a4＋a6＝5，则等于( ) 5
A. 62C. 3
6B. 53D. 2
a5a7
(2)(2015·湖南)设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差数列，则
an＝ .
答案 (1)D (2)3
n－1
解析 (1)设公比为q，则由题意知0＜q＜1， 由?
?a2·a8＝a4·a6＝6，?
??a4＋a6＝5，
得a4＝3，a6＝2，
a5a43所以＝＝.
a7a62
(2)由3S1,2S2，S3成等差数列知，4S2＝3S1＋S3，可得a3＝3a2，所以公比q＝3，故等比数列通项an＝a1qn－1
＝3
n－1
.
题型二 等比数列的判定与证明
例2 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2. (1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． (1)证明 由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2， 有a1＋a2＝S2＝4a1＋2. ∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.
5
??Sn＋1＝4an＋2， ①又?
?Sn＝4an－1＋2 n≥2， ②?
①－②，得an＋1＝4an－4an－1 (n≥2)， ∴an＋1－2an＝2(an－2an－1) (n≥2)． ∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1 (n≥2)， 故{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列． (2)解 由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2∴
n－1
，
an＋1an3
2
n＋1－n＝，
24
an13
故{n}是首项为，公差为的等差数列． 224an133n－1∴n＝＋(n－1)·＝， 2244
故an＝(3n－1)·2引申探究
例2中“Sn＋1＝4an＋2”改为“Sn＋1＝2Sn＋(n＋1)”，其他不变探求数列{an}的通项公式． 解 由已知得n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n. ∴Sn＋1－Sn＝2Sn－2Sn－1＋1， ∴an＋1＝2an＋1，
∴an＋1＋1＝2(an＋1)，又a1＝1，
当n＝1时上式也成立，故{an＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列， ∴an＋1＝2·2
n－1
n－2
.
＝2，∴an＝2－1.
nn思维升华 (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．(2)利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证．
6
设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2
＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N)． (1)求a2，a3的值；
(2)求证：数列{Sn＋2}是等比数列．
(1)解 ∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N)， ∴当n＝1时，a1＝2×1＝2； 当n＝2时，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4， ∴a2＝4；
当n＝3时，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6， ∴a3＝8.
综上，a2＝4，a3＝8.
(2)证明 a1＋2a2＋3a3＋…＋nan ＝(n－1)Sn＋2n(n∈N)，①
∴当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1 ＝(n－2)Sn－1＋2(n－1)．②
①－②得nan＝(n－1)Sn－(n－2)Sn－1＋2＝n(Sn－Sn－1)－Sn＋2Sn－1＋2＝nan－Sn＋2Sn－1＋2. ∴－Sn＋2Sn－1＋2＝0，即Sn＝2Sn－1＋2， ∴Sn＋2＝2(Sn－1＋2)． ∵S1＋2＝4≠0，∴Sn－1＋2≠0， ∴
*
*
*
Sn＋2
＝2，
Sn－1＋2
故{Sn＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列． 题型三 等比数列的性质及应用
例3 (1)在等比数列{an}中，各项均为正值，且a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，则a4＋a8＝ .
7
(2)等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若1
答案 (1)51 (2)－ 2
S1031
＝，则公比q＝ . S532
解析 (1)由a6a10＋a3a5＝41及a6a10＝a8，a3a5＝a4， 得a4＋a8＝41.因为a4a8＝5，
所以(a4＋a8)＝a4＋2a4a8＋a8＝41＋2×5＝51. 又an>0，所以a4＋a8＝51. (2)由
2
2
2
2
2
22
S1031
＝，a1＝－1知公比q≠±1， S532
S10－S51
＝－. S532
5
则可得
由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q， 115
故q＝－，q＝－.
322
思维升华 (1)在等比数列的基本运算问题中，一般利用通项公式与前n项和公式，建立方程组求解，但如果能灵活运用等比数列的性质“若m＋n＝p＋q，则有aman＝apaq”，可以减少运算量．(2)等比数列的项经过适当的组合后构成的新数列也具有某种性质，例如等比数列
Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等比数列，公比为qk(q≠－1)．
(1)已知等比数列{an}的公比为正数，且a3a9
＝2a5，a2＝2，则a1等于( ) 1
A. 2C.2
B.2 2
2
D．2
(2)等比数列{an}共有奇数项，所有奇数项和S奇＝255，所有偶数项和S偶＝－126，末项是
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