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第14课时 数列（3）
★ 高考趋势★ 数列的综合应用时历年来高考考察的重点之一，数列经常和函数，方程，三角，不等式，解析几何等知识结合，在解答题中有时是中等难度的题目，有时是难度较大的综合题，有时围绕数列创设一些新颖的题目，对知识考察的同时也伴随着对思想方法的考察，经常作为压轴题出现。 一 基础再现 1．在等差数列{an}中，则a5?a6?a9?a12?a13? ． a2,a16是方程x2?6x?1?0的两根，2. 在数列{an}中，在数列{bn}中，bn?cos(anp)，an?1?22?33???nn，(n?N?)，(n?N?)，则b2008?b2009?_________．
3. 给定an?log(n?1)(n?2)（n∈N*），定义乘积a1?a2???ak为整数的k（k∈N*）叫做“理想数”，则区间[1，2008]内的所有理想数的和为 ．
4．已知函数f(x)?3x2?bx?1是偶函数，g(x)?5x?c是奇函数，正数数列?an?满足a1?1，
2f(an?an?1)?g(an?1an?an)?1，求数列{an}的通项公式为 ．
5．在圆x2?y2?5x内，过点(,)有n(n?N*)条弦，它们的长构成等差数列，若a1为过该点最短弦的长,an为过该点最长弦的长,公差d?(,)，那么n的值是 ． 6．（08湖北卷理14）已知函数f(x)?2x,等差数列{ax}的公差为2.若
53221153f(a2?a4?a6?a8?a10)?4,则log2[f(a1)?f(a2)f(a3)???f(a10)]? . 7．在△ABC中，tanA是以－4为第3项，4为第7项的等差数列的公差，tanB是以为第3项，9为第6项的等比数列的公比，则这个三角形是 ．
8.如图甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME－7）的会徽图案，会徽的主体图案是由
如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1?A1A2?A2A3???A7A8?1，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记OA1,OA2,?,OAn,?的长度构成数列?an?，则此数列的通项公式为an＝ ．
ICME7 图甲
－
A6 A7 A8 O 图乙
A5 A4
13A3
A2 A1
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二 感悟解答
1解：a2?a6=2a9=6，?a9=3，?a5?a6?a9?a12?a13?5a9=15，答：15
2解：an的奇偶性为：奇，奇，偶，偶，奇，奇，偶，偶，?，从而bn分别为： ?1，?1，1，1，?1，?1，1，1，?，周期为4，所以，b2008?b2009?1?(?1)?2．答： 2 3解：换底公式：logaN?logbNlg(k?2)．a1a2?ak?为整数，k?2?2m，m∈N*分别是
lg2logba22?2,23?2,24?2,?，最大值2m?2≤2008，m最大可取10，故和为22+23+?+210-18=2026．
n?14解：an?()n(?N*．) f(x)是偶函数，?b?0?f(x)?3x2?1;g(x)是奇
2322?c?0?g(x)?5，xf(an?an?1)?g(an?1an?an)?1?3(an?an?1)2?1?5(an?1an?an)?1
?(an?an?1)?3(an?an?1)?5an??0?3(an?an?1)?5an?an?12?，??an?是等比数列 ，an32?an?()n?1(n?N*)．
35解： 11,12,13,14,15．解:x2?y2?5x?(x?)2?y2?故与PC垂直的弦是最短弦，所以a1?2R2?(522555? 圆心C(，0),半径R?, 422PC2)?2，而过P、C的弦是最长弦，所以 2an?2R?5,由等差数列an?a1?(n?1)d?5?2?(n?1)d?d?3， n?111d?(，)?10?n?16,因n?N*,所以n?11、12、13、14、15
536.解：依题意a2?a4?a6?a8?a10?2，所以a1?a3?a5?a7?a9?2?5?2??8
∴f(a1)?f(a2)?f(a3)???f(a10)?2a1?a2???a10?2?6?log2[f(a1)?f(a2)?f(a3)???f(a10)]??6
7解：锐角三角形。由题意得4??4?4tanA?tanA?2?0，9?tan3B?tanB?3?0
13故tanC??tan(A?B)??tanA?tanB?1?0, ?ABC是锐角三角形．
1?tanAtanB8. n
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三 范例剖析
例1 已知定义域为R的二次函数f(x)的最小值为0且有f(1?x)?f(1?x)，直线 g(x)?4(x?1)被f(x)的图像截得的弦长为417，数列?an?满足a1?2，
(an?1?an)g(an)?f(an)?0???n?N*?.
（1）函数f(x)；
（2）求数列?an?的通项公式；
（3）设bn?3f(an)?g(an?1)，求数列?bn?的最值及相应的n．
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1x?log2的图象上任意两点，且 21?x11OM?(OA?OB)，已知点M的横坐标为.
2212n?1),n∈N*，且n≥2,求Sn; （1）求证：M点纵坐标为定值； 若Sn=f()?f()???f(nnn例2 设A（x1,y1）,B(x2,y2)是函数f(x)=
?2 n?1?*3?（2）已知an=?，其中n∈N.
1? n?2??(Sn?1)(Sn?1?1) Tn为数列{an}的前n项和，若Tn＜λ(Sn+1+1)对一切n∈N都成立，试求λ的取值范围.
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