发布时间 : 星期四 文章大学物理 力学部分习题解答更新完毕开始阅读a3a7104069eae009581becb6
第一篇 力学
第1章 质点运动与牛顿定律
1-9 一人自坐标原点出发，经20(s)向东走了25(m)，又用15(s)向北走了20(m)，再经过10(s)向西南方向走了15(m)，求：
（1）全过程的位移和路程；
（2）整个过程的平均速度和平均速率。
分析：从位移的概念出发，先用分量之差表示出每段位移，再通过矢量求和而求出全过程的位移，进而由路程、平均速度和平均速率的概念求出路程、平均速度和平均速率。
解： （1）以人为研究对象，建立如图所示的直角坐标系， 全过程的位移为：
ΔrOC=ΔrOA+ΔrAB+ΔrBC
=(xA－xO)i+(yB－yA)j+(xC－xB)i+(yC－yB)j =25i+20j－15cos450i－15sin450j
?14.4i?9.4j
其大小为：
ΔrOC=(Δx)2+(Δy)2=(14.4)2+(9.4)2=17.2(m)
全过程位移的方向为：??arctg即方向向东偏北33.1 （2）平均速度 ??其大小为：??0习题1-9图解
?y9.4?arctg?33.10 ?x14.4?rOC ?t?rOC17.2??0.38?m?s?1? ?t450平均速度的方向沿东偏北33.1 平均速率 ???s25?2?015??1.33m?s?1 ?t45??1-10 一质点P沿半径R?3.00m的圆周作匀速率运动，运动一周所需时间为20.0s，设t=0时，质点位于O点。按如图所示的坐标系oxy，求：(1)质点P在任意时刻的位矢；(2)5s时的速度和加速度。
分析：只要找出在任意时刻质点P点的坐标x、y，（通过辅助坐标系o'x'y'而找出）就能表示出质点P在任意时刻的位矢
r?xi?yj，进而由r对时间求导求出速度?和加速度a。
解：如图所示，在o'x'y'坐标系中，因??2?t，则质点PT图1-30 习题1-10图解 2?2?t,y`??Rcost 的参数方程为： x`?RsinTT
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坐标变换后，在oxy坐标系中有：
`?Rsin x?x2?2?t?R ，ty?y`?y0??RcosTT则质点P的位矢方程为： r=Rsin2π2π??ti+?－Rcost+R?j TT?? =3sin?0.1?t?i?3??1－cos?0.1?t???j 5s时的速度和加速度分别为 ：
??dr2?2?2?2??Rcosti?Rsintj?0.3?jdtTTTT
习题1-10图解 d2r2?2?2?2?a=2=－R()2sinti+R()2costj=(－0.03?2)j
dtTTTT1-11 已知一质点的运动方程为x?6t2?2t3(单位为SI制)，求：(1)第2秒内的平均速度；(2)第3秒末的速度；(3)第一秒末的加速度；(4)物体运动的类型。
分析：可由位矢对时间求导求得速度?、再由速度对时间求导求得加速度a。物体运动的类型，从?的正负判断运动方向，以a=0时刻为物体加速或减速的分界线方面加以判断。
解： 由x=6t2?2t3 知质点在任意时刻的速度与加速度分别为：
??dxd??12t?6t2； a==12?12t dtdt_2323?xx2?x1(6?2?2?2)??6?1?2?1?（1）第2秒内的平均速度 ?????4?m?s?1? ?t2?11(2)第3秒末的速度 ?t?3s?12t?6t2?1?2?3?62?3－(3)第一秒末的加速度 a2t?1s?12?12t?12?12?1??m?s?21?8s?，与运动方向相反。 ?m?
?1（s）（4）令??12t?6t?0，得 t=2时x达到极值,从此时开始质点将改变运动方向。 （）s，这是个拐点，在此时刻之前，质点作加速运动，在此时刻之令a=12－12t=0，得 t=1后，质点作减速运动。1-12质点的运动方程为r(t)=(9?4t?t2)i?(6t?t3)j，求当t=2(s)时，质点的速度?和加速度a。
分析：已知r(t)，可由位矢与速度、加速度的关系?、a 求出速度和加速度。 解：质点在任意时刻的速度为：??则 ?x?4?t，?y?6?t
当t=2(s)时，质点的速度大小为：??21213dr??4?t?i??6?t2?j??xi??yj dt?4?t?2??6?t2??10.2?m?s?1?
26?t210?arctg?78.70 方向：以?表示速度?与x轴间的夹角，则 ??arctg4?t2 2
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d?=－i+2tj=axi+ayj 质点在任意时刻的加速度为：a=dt则 ax=－1，ay=2t
当t=2(s)时，质点的加速度大小为： a???1???2t?22?4.1?m?s?1?
2t4?arctg?1000 ?1?1方向：以?表示加速度a与x轴间的夹角，则 ??arctg1-13已知质点的运动方程为
?x??Rsin? t??y?R(1?cos? t)
式中R，ω为常量，试问质点作什么运动？其速度和加速度为多少？加速度a。
解：由已知坐标分量式 x??Rsin?t，y?R?1?cos?t?，可知：
分析：可由运动方程消去参数t，得质点轨迹方程。而由位矢与速度、加速度的关系求出速度?、
x2=(－Rsinωt)2，(y－R)2=?－Rcosωt?
将上面两式相加 x2??y?R??R2，此即质点作匀速率圆周运动，其速度分量式为：
22?x?22dxdy??R?cos?t，?y??R?sin?t dtdt大小：???x??y?R?
方向：以?表示速度?与x轴间的夹角，则：
θ=arctanRωsinωt=arctan（－tanωt）
－Rωcosωtd?yd?x2?R?sin?t，ay??R?2cos?t 其加速度分量式为：ax?dtdt大小：a?22ax?ay?R?2
方向：以?表示加速度a与x轴间的夹角，则：
Rω2cosωtθ=arctan=arctan（tanωt） 2Rωsinωt1-14物体沿直线运动，其速度为??t3?3t2?2(单位为SI制)。如果t=2(s)时，x=4(m)，求此时物体的加速度以及t=3(s)时物体的位置。
分析：可通过?对时间求导求出加速度a。 通过?对时间积分求出位置矢量r。 解： 由??t3?3t2?2可知物体在任意时刻的加速度和位移分别为：
a=d?=3t2+6t dtdr dt??t3?3t2?2? 3
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上式变形后再两边积分为：
?t2(t3?3t2?2)dt??dr
4r1r=t4+t3+2t－12
4当t=2(s)时，物体的加速度为：a当t=3(s)时物体的位置为：
t=2s =3t2+6t=3×22+6×2=24（m.s－2）rt=3s=1431t+t+2t－12=×34+33+2×3－12=41.3（m） 441-15已知一质点由静止出发，其加速度在x轴和y轴上分别为ax?10t，ay?15t2（a的单位为SI制），试求t=5(s)时，质点的速度和位置。
分析：可先由加速度各分量积分求出速度相应分量，再由速度分量求出速度大小、方向。同理由速度积分求出位矢。
解： 由ax?10t， ay?15t2可知质点在任意时刻的速度分量式和位移分量式分别为：
?xtd?xax?10t?，变形后再两边积分为：?d?x??10tdt ?x?5t2
00dtay?15t?2d?ydt，变形后再两边积分为：
t?5s?2?y0d?y??15t2dt ?y?5t3
0t当t=5(s)时质点的速度为：?22??xi??yj?5t2i?5t3j?125i?625j
2速度的大小：???x??y?125?625?637.4m?s方向：以?表示速度?与x轴间的夹角，则 ??arctg??1?
625?78.70 125?x?5t2?3xtdx532，变形后再两边积分为：?dx??5tdt x?t
00dt3ytdy5?y?5t?，变形后再两边积分为：?dy??5t3dt y?t4
00dt4当t=5(s)时，质点的位置为：r位置的大小：r?t?5s55?xi?yj?t3i?t4j?208.3i?781.3j
34x2?y2?208.32?781.32?808.6?m?s?1?
781.3?75.10 208.3方向：以?表示位置与x轴间的夹角，则 ?=arctg1-16路灯距地面的高度为h1，一身高为h2的人在路灯下以匀速?0行走，试求人影顶端移动的速度?。
分析：由题知，在任意时刻，灯、人顶部、人影顶点三点应在一条线上，明确在图中人影顶点移动的速度为
d(x+b)dx，而人移动的速度为=?，只要找出x与b几何关系，通过求导就能找出dtdt0d(x+b)dx与的联系。 dtdt
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