发布时间 : 星期三 文章(完整)三角函数的图像与性质题型归纳总结,推荐文档更新完毕开始阅读a3b103e9cc2f0066f5335a8102d276a2002960b5
三角函数的图像与性质题型归纳总结
题型归纳及思路提示
题型1 已知函数解析式确定函数性质
【思路提示】一般所给函数为y＝A sin(ω x＋φ)或y＝A cos(ω x＋φ)，A>0,ω>0,要根据 y＝sin x，y＝cos x的整体性质求解。 一、函数的奇偶性
例1 f(x)＝sin(x??)（0≤?
A.0 B．
?? C． D．? 42【评注】由y?sinx是奇函数，y?cosx是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：(1)若y?Asin(x??)是奇函数，则??k?(k?Z);(2)若y?Asin(x??)是偶函数，则??k?+?2
(k?Z);
(3)若y?Acos(x??)是奇函数，则??k???2(k?Z);
(4)若y?Acos(x??)是偶函数，则??k?(k?Z);(5)若y?Atan(x??)是奇函数，则??k?(k?Z).2
变式1.已知a?R，函数f(x)?sinx?|a|为奇函数，则a等于（ ）A.0 B．1 C．?1 D．?1
变式2.设??R，则“??0”是“f(x)?cos(x??)(x?R)为偶函数”的（ ）
A充分不必要条件 B．必要不充分条 C．充要条件 D．无关条件
变式3.设f(x)?sin(?x??)，其中??0，则f(x)是偶函数的充要条件是（ ）
A.f(0)?1 B．f(0)?0 C．f'(0)?1 D．f'(0)?0例2.设f(x)?sin(2x?)(x?R)，则f(x)是( )2
A.最小正周期为?的奇函数 B．最小正周期为?的偶函数 C．最小正周期为?
?的奇函数 D．最小正周期为的偶函数22
?变式1.若f(x)?sin2x?1(x?R)，则f(x)是( )A.最小正周期为?的奇函数 B．最小正周期为?的偶函数 C．最小正周期为2?的奇函数 D．最小正周期为2?的偶函数
1
变式2.下列函数中，既在(0,)递增，又是以?为周期的偶函数的是( )2
A.y?cos2x B．y?|sin2x| C．y?|cos2x| D．y?|sinx|
二、函数的周期性
?例3.函数y?sin(2x?)cos(2x?)的最小正周期为( )66
A.
???? B． C．2? D．?24
【评注】关于三角函数周期的几个重要结论：
(1)函数y?Asin(?x??)?b,y?Acos(?x??)?b,y?Atan(?x??)?b2?2??的周期分别为,,.
|?||?||?|(2)函数y?|Asin(?x??)|,y?|Acos(?x??)|,y?|Atan(?x??)|的周期均为?.|?|
2?.|?|
(3)函数y?|Asin(?x??)?b|(b?0),y?|Acos(?x??)?b|(b?0)的周期均为变式1.函数y?sin(2x?)?cos(2x?)的最小正周期和最大值分别为( )63
A.?,1 B．?,2 C．2?,1 D．2?,2
??变式2.若f(x)?sinx(sinx?cosx),则f(x)的最小正周期是________.变式3.若f(x)?sin3x?|sin3x|则f(x)是( )A.最小正周期为?3
的周期函数 B．最小正周期为2?的周期函数 3C．最小正周期为2?的周期函数 D．非周期函数
三、函数的单调性
例4.函数y?sin(?2x)(x?[0,?])的递增区间是( )6 ?7??5??5?] C．[,] D．[,?]A.[0,] B．[,12123636
【评注】求三角函数的单调区间：
?若函数y?Asin(?x??)(A?0,??0)则(1)函数的递增区间由2k??(k?Z)决定；2?3?(2)函数的递减区间由2k????x???2k??(k?Z)决定；22(3)若函数y?Asin(?x??)中A?0,??0，可将函数变为y??Asin(??x??)2(4)对于函数y?Acos(?x??)和y?Atan(?x??)单调性的讨论同上。?
??x???2k???
则y?Asin(??x??)的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间；
2
,]内单调递增，则f(x)可以是( )44
A.1 B．cosx C．sinx D．?cosx变式2.若f(x)?sin(?x?)(??0)在(,?)上单调递增，则?的取值范围是（ ）42
15131A.[,] B．[,] C．(0,] D．(0,2]24242
变式3.已知函数f(x)?3sin?x?cos(?x?)?cos(?x?)(??0)33(1)求f(x)的值域；(2)若f(x)的最小正周期为,x?[0,]，f(x)的单调递减区间. 22
四、函数的对称性（对称轴、对称中心）
变式1.函数y?sinx?f(x)在[??3???
????【评注】关于三角函数对称性的几个重要结论：
?(1)函数y?sinx的对称轴为x?k??(k?Z),对称中心(k?,0)(k?Z);2(2)函数y?cosx的对称轴为x?k?(k?Z),对称中心(k??(3)函数y?tanx无对称轴，对称中心(k?,0)(k?Z);2例5.函数y?sin(2x?)图象的对称轴方程可能是( )3
????A.x?? B．x?? C．x? D．x?1266 12
??2,0)(k?Z);(4)函数y?Asin(?x??)?b的对称轴的求法：令?x???k??对称中心的求法:令?x???k?(k?Z)得x=k????2k??(k?Z),得x=k????2??(k?Z);??k???(5)函数y?Acos(?x??)?b的对称轴的求法：令?x???k?(k?Z),得x=(k?Z);???k????k?????22对称中心的求法:令?x???k??(k?Z)得x=(k?Z),对称中心为(,b)(k?Z)2??
3
?(k?Z),对称中心为(,b)(k?Z)；变式1.已知函数y?sin(?x?)(??0)的最小正周期为?，则f(x)的图象( )3
??A.关于点(,0)对称 B．关于直线x?对称
34??C．关于点(,0)对称 D．关于直线x?对称43
变式2.函数y?sin(x?)的图象的一个对称中心是( )4 3?3??,0) C．(,0) D．(,0)A.(??,0) B．(?442 2x2x变式3.函数f(x)?sin?cos的图象中，相邻两条对称轴之间的距离是__________.55??变式4.若函数y?sinx?3cosx的图象向右平移a个单位（a?0）后的图象关于y轴对称，则a的最小值是( )A.
???7? B． C． D．
263 6五、三角函数性质的综合
【思路提示】三角函数的性质（奇偶性、周期性、单调性、对称性）中，对称性尤为重要；
（）对称性1?奇偶性：若函数f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)是偶函数；若函数f(x)的图象关于原点对称，则f(x)是奇函数；TT(2)对称性?周期性：相邻两条对称轴之间的距离为；相邻两个对称中心的距离为；22T相邻的对称中心与对称轴之间的距离为；4(3)对称性?单调性：在相邻的对称轴之间，函数f(x)单调；特殊的，若f(x)?Asin(?x),A?0，??0函数f(x)在[?1,?2]上单调，且0?[?1,?2]设??max{|?1|,?2}，则T??。4例6.设f(x)?asin2x?bcos2x,ab?0,若f(x)?f()对任x?R成立,则611?7??(1)f()?0;(2)f()?f();(3)f(x)不具奇偶性；12105?2?(4)f(x)的单调递增区间是[k??,k??](k?Z)；63(5)存在经过点(a,b)的直线与函数f(x)的图象不相交.以上结论中正确的是__________________.
?
4