发布时间 : 星期四 文章凯莱-哈密尔顿(Caylay-Camilton)定理更新完毕开始阅读a3d7605177232f60ddcca1ba
现代控制理论基础
第二章 线性控制系统的运动分析
2-1 线性定常系统齐次状态方程的解 设齐次向量微分方程为：
??AXXX(t)t?0?X(0)其中A为n×n常系数矩阵，其解为：
?x1(t)??b10?b11t?b12t2???b1ktk?????x(t)??2kb?bt?bt???bt???21222kX(t)??2???20??????????2kx(t)b?bt?bt???bt????n??n1n2nk?n0?写成矩阵形式：
X(t)?b0?b1t?b2t2???bktk??式中b0、b1、b2、…bk均为n维列向量，则
??b?2bt???kbtk?1??X12k?AX?Ab0?Ab1t??Abktk??由待定系数法，得：
b1?Ab0b2?b3?bk?11Abk?1?Ab0kk!11Ab1?Ab022!11?Ab2?Ab033!考虑到初始条件：
X(t)t?0?X(0)?x1(0)??x(0)??b0?X(0)??2?????x(0)?n?
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最后得：
X(t)?(I?At?1221At???Aktk??)X(0)2!k!11A2t2???Aktk??2!k!定义状态转移矩阵：
?(t)?eAt?I?At?
则齐次状态方程的解可写为：
X(t)??(t)X(0)?eAtX(0)若初始条件为：
X(t)t?t0?X(t0)可以令：
X(t)?b0?b1(t?t0)?b2(t?t0)2???bk(t?t0)k??可以求出：
X(t)??(t?t0)X(t0)?eA(t?t0)X(t0)关于线性定常齐次状态方程的求解，也可以应用拉氏变
换，即：
??AXXX(t)t?0?X(0)两边拉氏变换：
sX(s)?X(0)?AX(s)X(s)?(sI?A)?1X(0)X(t)?L?1[(sI?A)?1]X(0)可见状态转移矩阵：
?(t)?eAt?L?1[(sI?A)?1]证明：由于：
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IAA2(sI?A)(?2?3??)sssIAA2?(?2?3??)(sI?A)sss?IIAA2(sI?A)??2?3??sss1L?1[(sI?A)?1]?I?At?A2t2????(t)?eAt2!?1
例：设系统状态方程为：
1????0X??2?3?X???x1(0)??1?X(0)?????0?x(0)?2???试求状态方程的解。
解：
?s?1?sI?A????2s?3?s?3??(s?1)(s?2)?1(sI?A)???2???(s?1)(s?2)1?(s?1)(s?2)??s?(s?1)(s?2)??e?t?e?2t???e?t?2e?2t???(t)?L(sI?A)?1?1?2e?t?e?2t???t?2t??2e?2e??2e?t?e?2t??x1(t)?X(t)?????(t)X(0)???t?2t?x(t)??2???2e?2e?? 38
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2-2 状态转移矩阵
一：φ(t)是矩阵微分方程：
?(t)?A?(t),??(0)?I的唯一解。
证：1）设φ(t)为状态转移矩阵，即X(t)??(t)X(0)为方程
??AX,XX(t)t?0?X(0)的解，把代X(t)??(t)X(0)入后，容易得证。
?(t)?A?(t),2）若φ(t)满足??(0)?I则φ(t)一定是状态
转移矩阵，即 X(t)??(t)X(0)??AX,一定满足 XX(t)t?0?X(0)
说明φ(t)是矩阵微分方程：
?(t)?A?(t),??(0)?I的唯一解。
二：φ(t)的性质
(a)?(0)?I?(t)?A?(t)??(t)A(b)??(0)?A?(c)??1(t)??(?t)证：
1221At??][I?At?A2t2??]?I2!2!11?(?t)?(t)?[I?At?A2t2??][I?At?A2t2??]?I2!2!?(t)?(?t)?[I?At?所以：
??1(t)??(?t)
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