发布时间 : 星期四 文章凯莱-哈密尔顿(Caylay-Camilton)定理更新完毕开始阅读a3d7605177232f60ddcca1ba
现代控制理论基础
f） 模式矩阵
当矩阵A出现共轭复数根λ1、2=σ±jω时，可将A化为模式矩阵。
如A为2×2矩阵，λ1、2=σ±jω，由λ1q1=A q1求出与λ1相对应A的特征向量q1=α1+jβ1。
则P=[α1，β1]可使M=P-1AP成为模式矩阵，即：
????M?P?1AP????????模式矩阵M对应的状态转移矩阵为：
?cos?tsin?t?eMt?e?t???sin?tcos?t??
1??0A??52 ???2?2?现代控制理论基础
例：
特征值为λi=-1±j，特征向量为：
一般情况，如A有m个互不相同的特征值λ1、λ2…λm和k组复数特征值λi=σi±jωi，（m+2k=n），利用：
?1q????1???1?????j????1??0?j???1??10???11?P??M?????11?1?1??????1?????????m?1M?PAP???M1???????Mk????P=[p1，p2，…pm，α1，β1…αk，βk]，可将A化为：
假定第j个复数特征值是r重根，且与其对应的独立特征向量为一个，则模式矩阵中相应的部分为：
?Tj??????ITj??I??I??Tj??2r?2r??j?j?Tj??????jj???10?I????01?而P中相应的部分由特征向量及广义特征向量的实部和虚部组成。
例如A为4×4矩阵，λ1、2=σ±jω为重根，与λ1相对应的特征向量q1=α1+jβ1，广义特征向量q2=α2+jβ2。则：P=[α1、β1、α2、β2]
?e?1t???????????????????Mkte???e?mt53
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MteM1t现代控制理论基础
?TM??1?0I?T1??eMt?eT1t???0teT1t??eT1t??e?tcos?te?tsin?te?tcos?tte?tsin?t???t??t?t?t?esin?tecos?t?tesin?tecos?t????t?t?00ecos?tesin?t????t?t00?esin?tecos?t????
2-3线性定常系统非齐次状态方程的解
??Ax?Bux可用两种方法来求解
1：积分法
??Ax?Bux??Ax?Bux??Ax)?e?AtBue?At(x由于：
d?At??e?At(x??Ax)[ex]??Ae?Atx?e?Atxdt故：
d?At[ex]?e?AtBudttd?At?At[ex]dt?ex(t)?x(0)?0dt??e?A?Bu(?)d?0ttx(t)?ex(0)??eA(t??)Bu(?)d?At0即：
x(t)??(t)x(0)???(t??)Bu(?)d?0tt??(t)x(0)???(?)Bu(t??)d?0 54
现代控制理论基础
2：拉普拉斯变换法
??Ax?Bux两边拉氏变换，得：
例：
)?x(0)?AX(s)?BU(s)?1??0sX(s1??x1??0??x?1u,u(t)?1(t)?1??X(s)??(??x?????sI?A)x(0)?(sI?A)BU(s)??2???2?3??x2??1?tx(t)??(t)x(0)???(t??)Bu(?)d?0??(t)x(0)???(?)Bu(t??)d?0t试求x(t)。 解：
?2e?t?e?2t?(t)???t?2t??2e?2et0e?t?e?2t???e?t?2e?2t?x(t)??(t)x(0)???(?)Bu(t??)d??2e???e?2?e???e?2???0???(t)x(0)???1d????2????0?2e???2e?2?1?e?2e??????t1?2t1??e?e????(t)x(0)??22???t?2te?e??t给定初始条件 x(0)即可求出x(t)。
2-4 线性时变系统的运动分析
如果线性系统含有随时间而变的系数，称为线性时变系统，动态方程描述如下：
??A(t)x?B(t)u?x??y?C(t)x?D(t)u一：线性时变系统齐次状态方程的解 设其解为： x?A(t)x,x(t)?x(t)t?t00
x(t)??55 (t,t0)x(t0)