发布时间 : 星期一 文章(优辅资源)江西省南昌市高考数学一模试卷(文科) Word版含解析更新完毕开始阅读a4406e2fe43a580216fc700abb68a98270feac5d
精 品 文 档
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
N两点，（Ⅱ）若过点B且斜率不为0的直线l与椭圆C交于M，已知直线A1M
与A2N相交于点G，求证：以点G为圆心，GF2的长为半径的圆总与x轴相切．
【考点】直线与椭圆的位置关系．
【分析】（Ⅰ）设点A1（﹣a，0），F2（c，0），推导出a=4﹣2c，由椭圆的离心率
，得a=2c，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）法一：要证以G点为圆心，GF2的长为半径的圆总与x轴相切．只需证xG=1，联立方程组
，得：（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，由此利用
根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明以点G为圆心，GF2的长为半径的圆总与x轴相切．
法二：要证以G点为圆心，即证xG=1，设M（x1，y1），N（x2，y2），G（x3，y3），x1，x2，x3两两不等，由B，M，N三点共线，得2x1x2﹣5（x1+x2）+8=0．再由A1，M，G三点共线，A2，N，G三点共线，推导出x3=1，由此能证明以点G为圆心，GF2的长为半径的圆总与x轴相切．
My1）Ny2）法三：设l的方程为y=k（x﹣4），（x1，，（x2，．由
得（3+4k2）
x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、三点共线，结合已知条件，能证明以点G为圆心，GF2的长为半径的圆总与x轴相切． 【解答】解：（Ⅰ）设点A1（﹣a，0），F2（c，0），由题意可知：a=4﹣2c①
又因为椭圆的离心率
，即a=2c②
，即
试 卷
精 品 文 档
联立方程①②可得：a=2，c=1，则b2=a2﹣c2=3 所以椭圆C的方程为
．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
证明：（Ⅱ）证法一：要证以G点为圆心，GF2的长为半径的圆总与x轴相切． 只需证GF2⊥x轴，即证xG=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 设M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组可得：（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，△＞0． 由韦达定理可得：
，
（*）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
因为直线，
即证：
，即3k（x1﹣4）?（x2﹣2）=﹣k（x2﹣4）?（x1+2）．
即证4x1x2﹣10（x1+x2）+16=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 将（*）代入上式可得
此式明显成立，原命题得证．
所以以点G为圆心，GF2的长为半径的圆总与x轴相切．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 证法二：要证以G点为圆心，GF2的长为半径的圆总与x轴相切． 只需证GF2⊥x轴，即证xG=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
设M（x1，y1），N（x2，y2），G（x3，y3），x1，x2，x3两两不等， 因
为
B
，
M
，
N
三
点
共
线
，
所
以
．
，
整理得2x1x2﹣5（x1+x2）+8=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 又A1，M，G三点共线，有：
①
试 卷
精 品 文 档
又A2，N，G三点共线，有：②
①
与
②
两
式
相
除
得
：
即，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
将2x1x2﹣5（x1+x2）+8=0即
代入得，
解得x3=4（舍去）或x3=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
所以GF2⊥x轴，即以点G为圆心，GF2的长为半径的圆总与x轴相切．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
证法三：由题意l与x轴不垂直，设l的方程为y=k（x﹣4），M（x1，y1），N（x2，y2）． 由
得（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，△＞0．
设M（x1，y1），N（x2，y2），G（x3，y3），x1，x2，x3两两不等， 则
，
，
﹣﹣﹣﹣﹣
由A1，M，G三点共线，有：
①
由A2，N，G三点共线，有：②，
①
与
②
两
式
相
除
得
：．﹣﹣
试 卷
精 品 文 档
﹣﹣﹣﹣﹣
解得x3=4（舍去）或x3=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
所以GF2⊥x轴，即以点G为圆心，GF2的长为半径的圆总与x轴相切．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
21．已知函数f（x）=（2x﹣4）ex+a（x+2）2．（a∈R，e为自然对数的底） （Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程； （Ⅱ）当x≥0时，不等式f（x）≥4a﹣4恒成立，求实数a的取值范围． 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f（0），f′（0），求出切线方程即可；
（Ⅱ）通过讨论a的范围，求出函数f（x）的最小值，从而求出a的范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，有f（x）=（2x﹣4）ex+（x+2）2， 则f'（x）=（2x﹣2）ex+2x+4?f'（0）=﹣2+4=2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 又因为f（0）=﹣4+4=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为y﹣0=2（x﹣0），即y=2x．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅱ）因为f'（x）=（2x﹣2）ex+2a（x+2），令g（x）=f'（x）=（2x﹣2）ex+2a（x+2）
有g'（x）=2x?ex+2a（x≥0）且函数y=g'（x）在x∈[0，+∞）上单调递增﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
当2a≥0时，有g'（x）≥0，此时函数y=f'（x）在x∈[0，+∞）上单调递增，则f'（x）≥f'（0）=4a﹣2 （ⅰ）若4a﹣2≥0即
时，有函数y=f（x）在x∈[0，+∞）上单调递增，
则f（x）min=f（0）=4a﹣4恒成立；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （ⅱ）若4a﹣2＜0即
时，则在x∈[0，+∞）存在f'（x0）=0，
此时函数y=f（x）在x∈（0，x0）上单调递减，x∈（x0，+∞）上单调递增且f（0）=4a﹣4，
所以不等式不可能恒成立，故不符合题意；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
当2a＜0时，有g'（0）=2a＜0，则在x∈[0，+∞）存在g'（x1）=0，
试 卷