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题库（1）
一、 判断题（共10小题，每小题1分，共10分） 1、随机变量的均值反映了它取值的离散程度，它的方差反映了它取值的平均值。（×）
2、如果一个随机过程是各态历经过程，那么它一定是广义平稳的。（√） 3、窄带随机过程的正交分量和同相分量在同一时刻是相互独立的。（×） 4、白噪声通过一个线性系统，它的输出服从瑞利分布。（×） 5、正态随机信号通过任何线性系统，输出都服从正态分布。（√）
6、随机信号通过线性系统不会产生新的频率分量，但随机信号通过非线性系统则可能会产生新的频率分量。（√）
7、随机信号的复信号表示的功率谱在正频率部分是该随机信号功率谱的两倍，在负频率部分则为零。（√）
8、非线性系统普遍具有“欺负”小信号的特点。（×） 9、对于严格平稳随机过程，不相关和独立是等价的。（√） 二、 证明
1 证明由不相关的两个任意分布的随机变量A、B构成的随机过程
X(t)?Acos?0t?Bsin?0t是宽平稳而不一定是严平稳的。其中?0t为常数，A、B
的数学期望为零，方差?2相同。证：E[X(t)]?E[A]cos?0t?E[B]sin?0t?0 证明：RX(t,t??)?E[(Acos?0t?Bsin?0t)(Acos?0(t??)?Bsin?0(t??)]
?E[A2cos?0tcos?0(t??)?ABcos?0tsin?0(t??)?ABsin?0tcos?0(t??)?B2sin?0tsin?0(t??)]?E[A2]cos?0tcos?0(t??)?E[A]E[B]cos?0tsin?0(t??)?E[A]E[B]sin?0tcos?0(t??)?E[B2]sin?0tsin?0(t??)2?E[A2]cos?0tcos?0(t??)?E[B2]sin?0tsin?0(t??)
（E[X2]?D[X]?(E[X])2）??2cos?0?,E[X2(t)]??因此，是广义平稳的随机过程。
RX(t1,t2,t3)?E[(Acos?0t1?Bsin?0t1)(Acos?0t2?Bsin?0t2)(Acos?0t3?Bsin?0t3)]
?E[(A2cos?0t1cos?0t2?ABcos?0t1sin?0t2?ABsin?0t1cos?0t2?B2sin?0t1sin?0t2)(Acos?0t3?Bsin??E[(A3cos?0t1cos?0t2?A2Bcos?0t1sin?0t2?A2Bsin?0t1cos?0t2?AB2sin?0t1sin?0t2)cos?0t3]?E[(A2Bcos?0t1cos?0t2?AB2cos?0t1sin?0t2?AB2sin?0t1cos?0t2?B3sin?0t1sin?0t2)sin?0t3]?E[A3cos?0t1cos?0t2cos?0t3]?E[B3sin?0t1sin?0t2sin?0t3]
可见，该随机过程构不成三阶平稳，因此不符合严平稳过程的要求。
2 已知随机过程X(t)??aiXi(t)，式中ai是常数，Xi(t)是平稳过程，并且相互
i?1n之间是正交的，若SXi(?)表示Xi(t)的功率普密度，证明X(t)功率谱密度为
SX(?)??ai2SXi(?)证：因Xi(t)是平稳过程，并且相互之间是正交的，
i?1nRij(?)?0,i?j。
证明：RX(?)?E[X(t)X(t??)]?E[?aiXi(t)?aiXi(t??)]
i?1i?1nn??aE[Xi(t)Xi(t??)]??ai2RXi(?)
2ii?1i?1nn???j??SX(?)??RX(?)e??d????i?1??aR2inXi(?)e?j??d???ai2SXi(?)
i?1n三、 计算题
1 有三个样本函数x1(t)?2,x2(t)?2cost,x3(t)?3sint组成的随机过程X(t)，每个样本函数发生的概率相等，是否满足严平稳或宽平稳的条件？
解：X(t)?{x1(t),x2(t),x3(t)}?{2,2cost,3sint}；P1?P2?P3?31 31E[X(t)]??xi(t)Pi?(2?2cost?3sint)由于数学期望与时间相关，不为常数，
3i?1因此不满足一阶平稳，也就不满足严平稳或宽平稳的条件。
?t?Φ)，Φ为在[0,2?]内均匀分布的随机变量，A2 已知随机过程X(t)?Acos(可能是常数、时间函数或随机变量。A满足什么条件时，X(t)是各态历经过程？ 解： （1）考查X(t)为平稳过程的条件
在A为常数或与Φ不相关的随机变量时，满足
E[X(t)]?0RX(t,t??)?E[X(t)X(t??)]?E[Acos(?t?Φ)cos{?(t??)?Φ}]?1E[A2]{E[cos(2?t?2Φ???)]?E[cos??]} 21?E[A2]cos?? 22
?RX(?)
（2）考查X(t)为各态历经过程的条件
在A为常数或与Φ不相关的随机变量时，满足
1X(t)?limT??2T而
1X(t)dt?lim?T??2T?TTTT?T?Acos(?t?Φ)dt?limTAcosΦsin?T?0?E[X(t)]T???T1X(t)X(t??)?limT??2T1?limT??2TT1X(t)X(t??)dt?lim?T??2T?T?T2A?cos(?t?Φ)cos{?(t??)?Φ}dt
A2[cos(2?t?2Φ???)?cos??]dt ?2?TA2?cos??只有在A为常数时，满足X(t)X(t??)?RX(?)。欲使X(t)是各2态历经过程，A必为常数。
1??3 平稳高斯过程X(t)的自相关函数为RX(?)?e，求X(t)的一维和二维概率
2密度。
1??122mX?0；解：mX?RX(?)?limRX(?)?lime?0；?X?RX(0)?RX(?)?
??????22（1）X(t)的一维概率密度：fX(x,t)?12???1?2（2）平稳高斯过程n维概率密度等于n个以为概率密度的乘积。
22?5,?Y?10，说明下4 对于两个零均值联合平稳随机过程X(t)和Y(t)，已知?Xex212?2?1e?x
2列函数是否可能为他们的自相关函数，并说明原因。
(1)(3)(5)RY(?)??cos(6?)eRY(?)?6?4e?3?2??(2)(4)(6)sin(3?)RY(?)?5[]3?RX(?)?5sin(5?) RX(?)?5e??2RX(?)?5u(?)e?3?解：
（a）自相关函数是偶函数，仅有(1)、(2)、(3)、(6)满足； （b）RX(0)?RX(?)，（a）中仅有(2)、(3)、(6)满足；
2?RX(0)?RX(?)，（c）对于非周期平稳过程有?X（b）中仅有(6)满足。
因此，(6)是自相关函数。
5 设两个随机过程X(t)和Y(t)各是平稳的，且联合平稳
X(t)?cos(?0t?Φ)Y(t)?sin(?0t?Φ)式中，Φ为在[0,2?]内均匀分布的随机变量，?0是常数。他
们是否不相关、正交、统计独立。
解：E[X(t)]?E[Y(t)]?0
1RX(?)?RY(?)?cos?0?
21RXY(?)?E[X(t)Y(t??)]?E[cos(?0t?Φ)sin(?0t?Φ)]?sin?0?
21CXY(?)?RXY(?)?E[X(t)]E[Y(t)]?sin?0??0
2X(t)和Y(t)是相关的，不是统计独立的；
又RXY(?)?0，X(t)和Y(t)是非正交的。 6 设正弦随机信号
X?t??Acos??t?，其中
A~N?0?,A2?。令
Y(t)?X(?t?),A和θ且统计独立，求：（1）X?t?是否严格循环平稳？（2）
X?t?是否广义循环平稳？（3）当θ满足什么分布时，Y(t)是广义平稳信号？
解：（1）由
FX(x1, ?xn;t1,tn)X(tn)?xn]X(tn?2)?xn]可知，它是严格循环平稳的，循tn?2)
?P[X(t1)?x1,?FX(x1,环周期为2。
P[X(t1?2)?x1,xn;t1?2,
（2）由E[X(t)]?0为常数,周期可为任意值。
RX(t??,t)?E[A2]?cos(2?t???)?cos(??)?周期为1。可知，它是广义循环平稳的，
循环周期为1。
（3）由定理可知，当θ~U[0，1]时，Y(t)是广义平稳信号。
题库（2）
一、 填空
1.假设连续随机变量的概率分布函数为F（x）则F（-∞）=___0_______, F（+∞）=____1______ 2.随机过程可以看成是___（_随时间t变化的随机变量_）__________的集合，也可以看成是_______(三样本函数)_______的集合