发布时间 : 星期三 文章2013届高考数学第一轮课时复习题29更新完毕开始阅读a5166f224b35eefdc8d333ca
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课时作业(二十九) [第29讲 等比数列]
[时间：45分钟 分值：100分]
基础热身
1．已知数列{an}为等比数列，a2＝6，a5＝162，则数列{an}的通项公式an＝________. 2．在等比数列{an}中，若首项a1＝1，公比q＝4，则该数列的前5项和S5＝________. 3．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么b＝________________________________________________________________________；
a·c＝________.
4．已知等比数列{an}中，a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是____________________．
能力提升 5．[2011·镇江统考] 在等比数列{an}中，若a7·a9＝4，a4＝1，则a12的值是________．
S6S96．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝________.
S3S6
7．等比数列{an}的公比q>0，已知a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，则{an}的前4项和S4＝________.
8．在等比数列{an}中，an>0，且a1·a2·?·a7·a8＝16，则a4＋a5的最小值为________． 9．[2011·上海徐汇区诊断] 设{an}是首项大于零的等比数列，则“a1 10．[2011·南京一模] 已知正项数列{an}对任意p，q∈N*，都有ap＋q＝ap·aq，若a2＝4，则a9＝________. 11．已知等比数列{an}的公比q>0，其前n项和为Sn，则S4a5与S5a4的大小关系是________． 12．设{an}是公比为q的等比数列，其前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a99a100－1>0，a99－1 <0，给出下列结论：①0 n等于199.其中正确结论的序号是________． 13．(8分)等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn. 14．(8分)[2011·嘉兴模拟] 已知数列{an}，Sn是其前n项和，且满足3an＝2Sn＋n(n∈* N)． 1?? (1)求证：数列?an＋2?为等比数列； ?? (2)记Tn＝S1＋S2＋?＋Sn，求Tn的表达式． 清华北大家教中心 家教电话：010—62561255 北京一对一上门家教品牌 家教电话：010—62561255 1??2an＋n?n为奇数?， 15．(12分)已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝?且bn＝a2n－2，n∈ ??an－2n?n为偶数?，N*. (1)求a2，a3，a4； (2)求证：数列{bn}为等比数列，并求其通项公式； (3)求和Tn＝a2＋a4＋a6＋?＋a2n. 16．(12分)[2011·南京模拟] 已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn＋1}是公比为2的等比数列． (1)证明：数列{an}成等比数列的充要条件是a1＝3； (2)设bn＝5n－(－1)nan(n∈N*)．若bn 清华北大家教中心 家教电话：010—62561255 北京一对一上门家教品牌 家教电话：010—62561255 课时作业(二十九) 【基础热身】 － 1．2·3n1 [解析] 设等比数列{an}的公比为q，则a2＝a1q，a5＝a1q4.依题意，得方程组?a1q＝6， ?n－1?解此方程组，得a＝2, q＝3.故数列{a}的通项公式为a＝2·3(n∈N*)． 1nn4??a1q＝162， 2．341 [解析] 在等比数列{an}中，∵a1＝1，q＝4， a1?1－q5?1－45 ∴S5＝＝＝341. 1－q1－4 3．－3 9 [解析] 由等比数列的性质可得ac＝(－1)×(－9)＝9，b·b＝9且b与奇数项的符号相同，故b＝－3. 1 4．(－∞，－1]∪[3，＋∞) [解析] 设等比数列的公比为q，则S3＝q＋＋1.当q>0时， q 1 ＋1＋q≥3； q 1 当q<0时，＋1＋q≤－1， q ∴S3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 【能力提升】 5．4 [解析] a7·a9＝4?a28＝4，a8与a4同号，故a8＝2， a8∴q4＝＝2?a12＝a8·q4＝4. a4 3 7S6?1＋q?S36. [解析] 设公比为q，则＝＝1＋q3＝3?q3＝2， 3S3S3 36 S91＋q＋q1＋2＋47于是＝＝＝. S631＋q31＋215＋－ 7. [解析] 由an＋2＋an＋1＝6an得：qn1＋qn＝6qn1， 2 1 ?1－24?2115 即q2＋q－6＝0，q>0，解得：q＝2，又a2＝1，所以，a1＝，S4＝＝. 221－2 8．22 [解析] 由已知得(a4a5)4＝16，因为an>0，所以a4a5＝2，所以a4＋a5≥2a4a5＝22. 9．充分必要 [解析] 因为{an}是首项大于零的等比数列，所以当a1 2 10．512 [解析] 由ap＋q＝ap·aq，a2＝4，可得a2＝a1＝4?a1＝2，又a4＝a22＝16，a8＝2 a4＝256，a9＝a1a8＝512. 22 11．S4a5 223a14838a1q3 S4a5－S5a4＝(q－q－q＋q)＝(q－1)＝－a21q<0. 1－q1－q 12．①③④ [解析] 由a1>1，a99a100>1，(a99－1)·(a100－1)<0，∴ nn?n－1?nn?n－1?a99>1,0 n－1n－1 <1，即a1·q<1，由a99>1,0 ∴n≥199，∴Tn<1的最小自然数为199，∴T198<1不正确． 13．[解答] (1)设{an}的公比为q， 由已知得16＝2q3，解得q＝2. － 所以an＝2·2n1＝2n. (2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32， 清华北大家教中心 家教电话：010—62561255 北京一对一上门家教品牌 家教电话：010—62561255 ???b1＋2d＝8，?b1＝－16，?设{bn}的公差为d，则有解得? ?b1＋4d＝32，???d＝12， 从而bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28. n?－16＋12n－28? 所以数列{bn}的前n项和Sn＝＝6n2－22n. 2 14．[解答] (1)证明：n＝1时，3a1＝2S1＋1＝2a1＋1. ∴a1＝1. 当n≥2时，由3an＝2Sn＋n，① 得3an－1＝2Sn－1＋n－1，② ①－②得3an－3an－1＝2Sn＋n－2Sn－1－n＋1＝2(Sn－Sn－1)＋1＝2an＋1， 即an＝3an－1＋1， 111 an－1＋?. ∴an＋＝3an－1＋1＋＝3?2?22? 13 又a1＋＝≠0， 221??3 ∴?an＋2?是首项为，公比为3的等比数列． 2?? 13n－13n－113n1 (2)由(1)得an＋＝·3，即an＝·3－，代入①得Sn＝·3－(2n＋3)， 222244 ∴Tn＝S1＋S2＋?＋Sn 31 ＝(3＋32＋33＋?＋3n)－(5＋7＋?＋2n＋3) 44 n n?n＋4?33?1－3?n?n＋4?9n ＝·－＝(3－1)－. 41－3484 15．[思路] (1)利用分段函数的性质求解．(2)要证明{bn}是等比数列，可考虑在n≥2时寻找bn与bn－1的关系，结合所给的关系式把它们用数列{an}中的项表示出来即可．(3)利用(2)的结论，求出bn，再利用两个数列的关系求解． 357 [解答] (1)a2＝，a3＝－，a4＝. 224 * (2)由于bn＝a2n－2，n∈N， 当n≥2时，bn＝a2n－2＝a(2n－1)＋1－2 1 ＝a2n－1＋(2n－1)－2 21 ＝[a2n－2－2(2n－2)]＋(2n－1)－2 21 ＝[a2(n－1)－2] 21 ＝bn－1. 2 1 又b1＝a2－2＝－，且易知bn≠0， 2 ∴数列{bn}为等比数列， 1?1?n－1?1?n. ∴bn＝－·＝－?2?2?2?(3)∵a2n＝bn＋2， ∴Tn＝a2＋a4＋?＋a2n ＝b1＋b2＋?＋bn＋2n 1??1?n?1－?2??2?＝－＋2n 11－2 清华北大家教中心 家教电话：010—62561255 北京一对一上门家教品牌 家教电话：010—62561255 1?n＝??2?＋2n－1. an＋1[点评] (1)判断数列{an}为等比数列的常用方法有：①证明＝q(与n无关的常数)；② an a2n＝an－1an＋1； (2)证明数列不是等比数列，可以通过具体的连续三项不成等比数列来证明，也可以用反证法． 16．[解答] (1)证明：因为数列{Sn＋1}是公比为2的等比数列， － 所以Sn＋1＝S1＋1·2n1， － 即Sn＋1＝(a1＋1)·4n1 ??S1，n＝1， 因为an＝? ?Sn－Sn－1，n≥2，? ??a1，n＝1， 所以an＝? － ?3?a1＋1?·4n2，n≥2.? an＋1 显然，当n≥2时，＝4. an an＋1a2①充分性：当a1＝3时，＝4，所以对n∈N*，都有＝4，即数列{an}是等比数列． a1an a2②必要性：因为{an}是等比数列，所以＝4， a1 3?a1＋1?即＝4.解得a1＝3. a1 (2)当n＝1时，b1＝5＋a1； － 当n≥2时，bn＝5n－(－1)n×3(a1＋1)×4n2(a1>－1)． －＋－ ①当n为偶数时，5n－3(a1＋1)×4n2<5n1＋3(a1＋1)×4n1恒成立． － 即15(a1＋1)×4n2>－4×5n恒成立， 故a1∈(－1，＋∞)． ②当n为奇数时，b1 17 由b1 4 －＋－n 由bn － 即15(a1＋1)×4n2<4×5n恒成立， 205?n－2 所以a1＋1 3?4? 205?n－225 因为对n≥3的奇数，?的最小值为， 3?4?3 22 所以a1<. 3172217又因为<，故－1 434