发布时间 : 星期日 文章第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初一决赛A试卷答案及其详细解析更新完毕开始阅读a5954e63336c1eb91b375d0d
十七届
第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛笔试试题A（初一组）
（时间：2012年4月21日10:00~11:30）
一、填空题（每小题10分，共80分）
??1?3??-2???-1?--10??-?-??1．计算：???2???=-16
?1???1??-22??-?+?1-32??-???8???2??43??1?3?(?2)?(?1)?|?10|??????????2?????16?10?8??96??16解析：原式?1916?1??1??22?????[1?32?(?)]222?8?
432．一串有规律排列的数，从第二项起每一项都等于1加前一项的倒数之和，当第五项是0时，第一项
3? 是?????5?解析：设第一项是a, 根据题意, 第二项是1+1+
3．如图，AB=BC=CA=AD,则∠BDC=（30°）
a?13a?1，第五项是?2a?12a?11a?1第三项是?，aa1+
a2a?1第四项是?，a?1a?151+2a?1?3a?25a?3因为 5a?3?0,3a?2.3a?2 所以5a+3=0, a = ?3.
解析：设∠CAD=2α, 则∠CDA=90°－α, ∠ADB = 60°－α,故 ∠BDC=30°．
4．已知a=b+2c,b=3c,c=7b-a-20.那么b=（4）
解析：由 a?b?2c, b?3c可得a?5c, 由c?7b?a?20可得c?7?3c?5c?20 ,因此有c?5．求使n3+3与n-4不互质的大于4的最小整数n的值为（71）
3332n?4?k,k?1n?3?(k?4)?3?k?12k?48k?67,k?1,则k3?12k2?48k?67 和 解析：令 , 则
4 , b3?4
k的公约数就是67和k公约数, 而67是质数, 所以它们的公约数除了1以外, 最小的只能是67, 于是
最小的k?67, 所以 n?71.
6．一个学校选出5个年级共8个班，从每个班至少选出一名学生，则在这些选出的学生中，至少有（4）名学生，他们的同班同学比他们的同年级同学少。
解析：(1)如果选出的学生所在年级中只有一个班, 则和他同年级的选出学生数等于和他同班的选出学生数.(2)设一个年级仅有1个班的年级总数为n, 则所在年级至少有2个班的班级总数是8?n. 设有m名学生, 在选出的学生中, 他们的同班同学比他们的同年级同学少. 可知, m?8?n.(3)从5个年级共8个班中, 仅有1个班的年级总数至多是4, 即 n?4, 所以m?4.(4)设有4个年级均只有1个班级, 有4个班级在同一个年级, 每班各选出1名学生, 则有4名学生, 在选出的学生中, 他们的同班同学比他们的同年级同学少.
17.某个水池存有的水量是其容量的18，两台抽水机同时向水池注水，当水池的水量达到时，第一台
抽水机开始单独向水池注水，用时81分钟，所注入的水量等于第二台抽水机已注入水池内的水量，然
第 1 页 共 5 页
29十七届
后第二台抽水机单独向水池注水49分钟，此时，两台抽水机注入水池的总水量相同，之后，两台抽水机都继续向水池注水，那么两台抽水机还需要一起注水（231）分钟，方能将水池注满。 解析：设水池容量为1. 由题意可知：两台抽水机第一次同时向水池注水的水量是水机单独向水池注水的水量为设所需时间为
16211??9186.设两台抽
1时所需时间分别为V1和V2, 两台抽水机一起向水池注水的水量为6时,
V27t49??,V2V2.所以, V19t?7?9?63t81?,VV1t, 则有下列方程：2.由题意可知：两台抽
1水机单独向水池注水的水量之和也是6, 两台抽水机都继续向水池注水, 还需要注水：
1?2?1111?111????63?231???61818，方能将水池注满水, 故有?186? (分钟).
8．有16位选手参加象棋晋级赛，每两人都只赛一盘，每盘胜者积1分，败者积0分，如果和棋，每人各积0.5分，比赛全部结束后，积分不少于10分者可以晋级，则这次比赛最多有（11）名晋级者。
16?15?1202解析：16名选手共比赛 盘, 总积分为120分. 由于积分不少于10分者评为优胜者, 所以
120?1210优胜者不超过 人.首先证明12名优胜者是不可能的. 假设评优胜者等于Ⅲ小于10分, 与这人
11?10?55是优胜矛盾！所以优胜者至多11人.评出11名优胜者是可能的. 由于11个人之间共赛 2 盘, 共计分55分, 如果这55盘都是和棋, 则每人积分5分.另外这11人每人都要和其余5名非优胜者比赛, 设每场都胜, 则每人又积5分, 因此这11名选手每人都积5+5=10分, 合于评为优胜者的标准. 二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）
?x?3y?5x?y?2?5?2x?y?19．解方程组?
解析：由第二个方程解得 y?1?2x…（1）,将（1）代入第一个方程, 得到
|x?3(1?2x)|?|5x?(1?2x)?2|?5,即 |3?5x|?|7x?1|?5…（2）
分以下几种情形讨论：
313?5x?0(x?)7x?1?0(x??)5 和 7 时, 方程（2）化为 (Ⅰ)当
111313?5x?7x?1?5?2x?1?x????x?2, 因为 725, 故（2）有解 2, 从而 y?0.
3133?5x?0(x?)7x?1?0(x??)x?5 和 7 时, 即 5 时, 方程（2）化为(Ⅱ)当
77375x?3?7x?1?5?12x?7?x??x?12，因为 125, 故 12不是（2）的解.
3113?5x?0(x?)7x?1?0(x??)x??5 和 7 时, 即7时, 方程（2）化为 （Ⅲ）当
11113
3?5x?7x?1?5??12x?3?x?????x??y?
4.因为 47, 故得解 4. 从而 2. 还有
一种情况也无解.
第 2 页 共 5 页
十七届
113x?,y?0;x??,y?242 所以, 原方程组有两组解：
10.从2000年到2099年，有没有哪些年份可以表示成3m-3n的形式，其中m,n均为正整数？如果有，请列举出来，如果没有，请说明理由。
mnmm?1mnm解析：2000?3?3?2099, 而 3?3?3?3?3?3, 因此有
?3m?3m?1?209920002099?m?3m?1?2,即 667?3m?1?1049. ?3?3?2000, 36n那么只有 3?729 满足条件, 因此 m?1?6, m?7. 另一方面,2000?2187?3?2099,
88?3n?187,而 34?81、35?243, 因此没有满足条件的n, 因此在本世纪中, 没有一个年份可以表
mn示成3?3的形式.
11．设[x]表示不大于x
qx?,p,qp解析：令为整数, q?1,(p,q)?1. 代入给定方程, 得到
q11p?[]?12pq?11pq?[]?12?pq…（1）因为 (p,q)?11?x????12的最大整数。求方程?x?的解答个数及所有解
x。
?1, 故 q|12, 12的因数有 1,2,3,4,6,12.
p?0??12?p?012,再由(p,q)?1, 得到
（i）当q?12时, 由（1）可得
pp??11p???p??p?p??p???00???1????12?12?12?????12??,
?1?p??1,?5,?7,?11.
p??11p???p??2p?2p??2p????0??6?p?0?????q?666???6?（ii）当时, 由（1）得??,再由(p,q)?1, 得到
p??1,?5.
（iii）当 q?再由(p,q)?1, 得到 p??1,?3. （iv）当 q?（v）当 q??11p??3p4 时, 由（1）得??4???p??3p???3p??4???p???0???4???4?p?0,
?11p??4p3 时, 由（1）得??3????1??p?0??3??,由此得到
p??1,?2.
. 121212643?12,?6,?4,?3,?2,?,?,?,?,?,?5711532 故所给解方程一共有11个解：
ccbb...bbbc?12.请你列出所有具有abb...bba特性的真分数a，其中a,b,c为数字，分子与分母中b的数目相等，
116166166...666???46466466...664，要求写出计算过程。 例如
?11p??6p2时, 由（2）得??2????p???0??2???p??1xxy?解析： 首先考虑满足 zyz 的一位正整数 x,y,z, 其中xy?10x?y, yz?10y?z. 乘开可得
10xy?xz?10xz?yz, 因此
x?yz10y?9z. 由于y,z都是一位数, 且10y?9z?0, 故y?z, 由于当y?z第 3 页 共 5 页
十七届
时, x?y?z, 不合题意, 故有y?z.
若y?z?1, 代入
x?yzz(z?1)90x??z?9?10y?9z得z?10z?10, 这说
明z?10是90的约数. 而在11到19之间, 90的约数仅有15和18, 故z?5或z?8, 分别解得x?2和
x?4.若y?z?2, 代入
x?yzz(z?2)360x??z?18?10y?9z得z?20z?20, 这说明z?20是360的约数. 而在的约数仅有
24, 故z?4, 解得x?1.若y?z?3, 则
21到29之间, 360
x?yzyzyzz????210y?9zy?273y3, 因此x?1, 故yz?10y?9z, 故10y?(y?9)z. 由于y?1, 故
z?3,4,52, 仅有y?9,z?5符
y?9?10, 因此(y,y?9)?1, 这说明y是3的倍数, 分别取y?3,6,9得
合条件.
2411综上所述, 所有具有题目所述特性的分数为5（添上6）, 8（添上9）, 4（添上6）和5（添上9）.
三 解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）
13．右图中，ABCD是平行四边形，面积是1，F为DC边上一点，E为AB上一点，连接AF，BF，DE，CE，AF交DE于G，EC交FB于H，已知
AE1?EB4,阴影三角形
1
BHC的面积是8，求三角形ADG的面积。
解析：设DF＝x，FC＝y，
. 如图, 分别用 ①～⑧ 记其所在的三角形的面积. 由已知条件ABCD是
1y21?面积为1的平行四边形和三角形面积公式，可得到:①＝③＝8，②＋①＝2x?y，④＋①＝5，并
1y2111111?且②/③＝①/④, 即 ②×④＝64.将②＝2x?y－8、④＝5－8＝40，代入 ②×④＝64，马上得到： 1y1111??y15147?11??4??1??5, 4???1, ?, z?z?111z?1114. （2x?y－8）×40＝64，可得?x?y?17类似可得⑤+⑧＝22，⑦+⑥＝10，⑤×⑦＝⑥×⑧，⑤＝⑦.
17从上面四个等式，可以得到：⑤×⑤＝（10－⑤）×（22－⑤），解上面关于⑤的方程，⑤＝
第 4 页 共 5 页
17?1022?71792?1022x?zy，
十七届
7三角形ADG的面积是92.
14．平面上有从1到n编了号的n个点，每个点与另外k个点连有直线段，若一个点连的k条直线段的另外k个端点的编号中有多于一半的编号小于它自身的编号，这个点就称为“好点”。若恰有5个好点，问：n的最小值是多少？
解析：当一个点连的线段的另一端点的编号小于它的编号, 就称这条线段为该点发出的“好线”. 每个
?k??1??2好点, 发出的“好线”的条数不小于??，这里令[x]表示不大于
x的最大整数, {x}?x?[x].
编号为n的点发出的连线都是好线，其它4个好点发出的连线的条数大于等于 ??k??k?14???1??4??2k?2??2??2????.
nknkk?2k?2?(*) 24?k(n?6).由于5个好点发出的好线的条数小于所有的连线数2，所以
另外, 设好点中最小编号为m, 则编号为1, 2, …, m?1的点都不是好点, 而非好点的总数是 n?5, 所以, m?1?n?5.此外, 第m号点最多只能发出m?1条好线, 因
k?k??k??1?m?1?n?5????1?n?5??此,?2?,2?2?,
k?k?2n?11?n?5?1????,k?2n?11.(**)22?2?
由 (*) 和 (**), 4?(2n?1)(n?6), 不难验证, n?8不等式才能成立.
下面例子说明, n = 8是可以达到的. 现设n = 8, 取k = 3, 有 1 2 3 4 5 6 7 1 * * * 2 * * 3 * * 4 * * * 5 * * * 6 * * * 7 * * 8 * * * * 表示编号等于行号和列号的两个点连线.
8 * * * 第 5 页 共 5 页