发布时间 : 星期日 文章第8讲：第三章第五节：静定结构的内力分析（一）（2013年新版）更新完毕开始阅读a5bd272f53d380eb6294dd88d0d233d4b04e3f45
第五节 静定结构的内力分析
静定结构按其受力特性，可以分为静定梁、静定刚架、三铰拱、静定析架和静定组合结构。 一、静定梁
1．截面内力分量及正负号规定
平面杆件的任一截面上一般有三个内力分量：轴力N，剪力Q和弯矩M。内力的正负号一般规定为：
(1）轴力以受拉为正；
(2）剪力以绕隔离体顺时针方向为正；
(3）弯矩一般不规定正负号（对水平梁通常以使梁的下侧受拉为正）。
内力图一般以杆轴为基线绘制。弯矩图规定画在杆件的受拉侧，无需标明正负号；剪力图和轴力图则可画在杆件的任一侧（对水平杆件通常将正的剪力和轴力绘于杆件上侧）,但需标明正负号。
2．截面法
截面法是结构内力分析的基本方法。截面法计算结构内力的基本步骤为： (l）将结构沿拟求内力的截面切开。
(2）取截面任一侧的部分为隔离体，作出隔离体的受力图；受力图中的力包括两部分：外荷载和截断约束处的约束力（截面内力或支座反力），未知截面内力一般假设为正号方向。
(3）利用静力平衡条件计算所求内力。对于平面结构，一般情况下隔离体上的各力组成一平面任意力系，故有三个独立的平衡方程（投影方程或力矩方程）:
特殊情况下，例如截取的是一个铰节点，则各丸组成一平面汇交力系，故有两个独立的投影平衡方程：
【例3-9】计算简支斜梁（图3-32）在均布荷载作用下1/3跨处的内力
(l）求支座反力
将梁（图3-32a）沿三根支座链杆处截开，取梁整体为隔离体，作出隔离体的受力图如图3-32(b）所示。由整体平衡条件，可得：
(2）求截面内力
在1/3跨截面C处截开，取AC部分为隔离体，作出受力图如图3-32（c）所示。由隔离体AC的平衡条件（x、y方向分别沿截面的轴向和切向），可得:
注：计算截面C内力时，也可先求出截面上的水平和竖向分力Xc、Yc(Xc=0)，再将其沿切向和轴向分解得到截面的剪力和轴力。
3．梁式直杆的内力图特征
任取一梁的微段dx为隔离体（图3-33)，由平衡条件可导得内力与荷载间的微分关系为：
根据上述增量关系，可获得不同荷载情况下梁式直杆的内力图的形状特征如下：
(l）无荷载区段：V图为平直线，M图为斜直线；当V为正时，M图线相对于基线为顺时针转（锐角方向），当V为负时为逆时针转，当V=0时M图为平直线。
(2）均布荷载区段：V图为斜直线，M图为二次抛物线，抛物线的凸出方向与荷载指向一致，V=0处M有极值。
(3）集中荷载作用处：V图有突变，突变值等于该集中荷载值，M图为一尖角，尖角方向与荷载指向一致；若V发生变号，则M有极值。
(4）集中力偶作用处：M图有突变，突变值等于该集中力偶值，V图无变化。
(5）铰节点一侧截面上：若无集中力偶作用，则弯矩等于零；若有集中力偶作用，则弯矩等于该集中力偶值。
(6）自由端截面上：若无集中力（力偶）作用，则剪力（弯矩）等于零；若有集中力（力偶）作用，则剪力（弯矩）值等于该集中力（力偶）值。
内力图的上述特征适用于梁、刚架、组合结构等各类结构的梁式直杆，并且与结构是静定还是超静定无关。
【例3-10】判断图3-34(a）所示梁（P＜ql／2）的内力图形状是否正确，如有错误，请予以改正。
AC段：为均布荷载区段，V图应为斜直线，M图应为抛物线，图中原内力图与此符合。 CD、DB段：为无荷载区段，V图应为平直线，M图为斜直线，显然原V图与此不符合。 D截面处：有竖直向下的集中荷载，V图应发生突变，且截面右侧的剪力应比左侧减小，M图尖角应指向下方，原内力图与此也不符合。可见，图3-34(a）的内力图不正确，需予以改正。
正确的内力图形状如图3-34(b）所示。由于均布荷载合力（ql/2）大于集中荷载P，故剪力在前半跨的某一截面E处就发生了变号（正值变为负值），该截面处弯矩达到最大值。
注：在剪力不发生突变的截面上，弯矩图总是光滑的。例如本例的弯矩图在截面C处（抛物线与斜直线的连接处）是光滑的。
4．分段叠加法作弯矩图
结构中的任一直杆段若受横向荷载作用（图3-35a、b），则该杆段的弯矩图等于将该杆段视作简支梁，在简支端单独作用该杆段的端部弯矩与简支梁单独作用横向荷载的弯矩图的叠加（图3-35c）。这种作弯矩图的方法称为分段叠加法作弯矩图。由于简支梁在一些常见荷载（如满跨均布荷载、跨中集中荷载等）下的弯矩图较为简单，因此利用分段叠加法往往可以简化弯矩图的绘制.
具体作图时，可先求出该杆段的端部弯矩，并连以虚线，然后以此虚线为基线绘出相应简支梁在相同荷载作用下的弯矩图，该图与梁轴包围的图形即为杆段的最后弯矩图（图3-35d）。需要注意的是，所谓弯矩图的叠加是指竖标的叠加，即在虚线基础上叠加的值仍应垂直于杆轴方向（而不是垂直于虚线方向）。
分段叠加法作弯矩图不仅适用于静定结构，同样也适用于超静定结构。 【例3-11】作图3-36（a）所示梁的内力图。
（l）计算支座反力
取整体为研究对象，由∑mB=0，可得：
利用AD、BC段的竖向投影平衡，可求得各截面的剪力分别为
（3）根据各区段的内力图形状特征绘出内力图
AD段：为无荷载区段，剪力图为一平直线，弯矩图为一斜直线；
DB段：为均布荷载区段，剪力图为一斜直线，弯矩图为二次抛物线，可采用分段叠加法绘出。具体做法是，先将D、B截面的弯矩竖标连成虚线，再在虚线基础上叠加将DB段作为简支梁时作用均布荷载的弯矩值（跨中为ql2/8=10kNm）。由于荷载向下，故叠加的抛物线应凸向下方。
BC段：为均布荷载区段，剪力图为一斜直线，弯矩图为二次抛物线，可采用分段叠加法作出，具体做法与DB段类似。
最后得到的剪力图和弯矩图如图3-36（b）、（c）所示。 （4）内力图校核
剪力图和弯矩图可以根据两者之间的微分关系（或杆段的平衡条件）进行校核。对无荷载区段，剪力等于弯矩图的斜率（弯矩图相对基线顺时针时剪力为正）；对均布荷载区段，可取该区段为隔离体，根据对杆端的力矩平衡进行校核。例如取出DB段（图3-36d），经验证：
故知该区段内力图正确。 5．多跨静定梁的计算
多跨静定梁是由若干根梁用铰相连，并与基础用若干个支座连接而成的静定结构。例如图3-37中的多跨静定梁，AB和CDE部分（在竖向荷载作用下）不依赖于其他部分的存在就能独立维持其自身的平衡，故称为基本部分；BC部分则必须依赖于基本部分才能维持其自身的平衡，故称为附属部分。