[精品]江苏省南通市2019届高三第一次模拟考试数学试卷(Word版,含答案) 联系客服

即为拱门最高点到地面的距离.

π

在Rt△O2OC中,∠O2OC=,CO2=3,

3

所以OO2=1,圆的半径R=OC=2.

所以O1P=R+OO1=R+O1O2-OO2=5. 故拱门最高点到地面的距离为5m.(4分)

(2) 在拱门放倒过程中,过点O作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点P. 当点P在劣弧CD上时,拱门上的点到地面的最大距离h等于圆O的半径长与圆心O到地面距离之和;

当点P在线段AD上时,拱门上的点到地面的最大距离h等于点D到地面的距离.

2由(1)知,在Rt△OO1B中,OB=OO1+O1B2=23.

以B为坐标原点,地面所在的直线为x轴,建立如图2所示的坐标系.

ππ

①当点P在劣弧CD上时,<θ≤.

62π

由∠OBx=θ+,OB=23,

6由三角函数定义,

?θ+π?,23sin?θ+π??, 得点O?23cos??6??6??

π

θ+?.(8分) 则h=2+23sin??6?πππ

所以当θ+=即θ=时,h取得最大值2+23.(10分)

623π

②如图3,当点P在线段AD上时,0≤θ≤.

6设∠CBD=φ,在Rt△BCD中, DB=BC2+CD2=27,

2321427sinφ==,cosφ==.

772727

由∠DBx=θ+φ,得点D(27cos(θ+φ),27sin(θ+φ)).

所以h=27sin(θ+φ)=4sinθ+23cosθ.(14分)

πππ

又当0<θ<时,h′=4cosθ-23sinθ>4cos-23sin=3>0.

666π

0,?上递增. 所以h=4sinθ+23cosθ在??6?π

所以当θ=时,h取得最大值5.

6

因为2+23>5,所以h的最大值为2+23.

?4sinθ+23cosθ, 0≤θ≤6,故h=?

πππ?θ+?,<θ≤.2+23sin?26?6?

π

艺术拱门在放倒的过程中,拱门上的点到地面距离的最大值为(2+23)m.(16分)

19. (1) 函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f′(x)=

x-a

. x2①当a≤0时,f′(x)>0成立,

所以函数f(x)在(0,+∞)为增函数;(2分) ②当a>0时,

(ⅰ) 当x>a时,f′(x)>0,所以函数f(x)在(a,+∞)上为增函数; (ⅱ) 当00时,f(x)的最小值为f(a),

1

依题意知f(a)=1+lna<0,解得0

e

一方面,由于1>a,f(1)=a>0,函数f(x)在(a,+∞)为增函数,且函数f(x)的图象在(a,1)上不间断. 所以函数f(x)在(a,+∞)上有唯一的一个零点. 11

另一方面,因为0

f(a2)=+lna2=+2lna,令g(a)=+2lna,

aaa1122a-1

当0

eaaa

1?1

所以f(a2)=g(a)=+2lna>g??e?=e-2>0. a

又f(a)<0,函数f(x)在(0,a)为减函数,且函数f(x)的图象在(a2,a)上不间断, 所以函数f(x)在(0,a)有唯一的一个零点. 1

0,?.(10分) 综上,实数a的取值范围是??e?aa?aa

②设p=x1f′(x1)+x2f′(x2)=1-+1-=2-??x1+x2?. x1x2a

lnx1+=0,

x1

又则p=2+ln(x1x2).(12分)

a

lnx2+=0,

x2

???

下面证明x1x2>a2.

不妨设x1

要证x1x2>a,即证x1>.

x2

2

a2

因为x1,∈(0,a),函数f(x)在(0,a)上为减函数,

x2a?

所以只要证f??x2?>f(x1).

2

a?又f(x1)=f(x2)=0,即证f??x2?>f(x2).(14分)

2

a?xa

设函数F(x)=f?-f(x)=--2lnx+2lna(x>a). ?x?ax(x-a)2所以F′(x)=>0,

ax2所以函数F(x)在(a,+∞)上为增函数. 所以F(x2)>F(a)=0, a?所以f??x2?>f(x2)成立.

从而x1x2>a2成立.

所以p=2+ln(x1x2)>2lna+2,即x1f′(x1)+x2f′(x2)>2lna+2成立.(16分) 20. (1) 设等差数列{an}的公差为d.

因为等差数列{an}满足a4=4,前8项和S8=36,

a+3d=4,???1?a1=1,所以?解得? 8×7

?d=1.?8a+d=36,?2?1所以数列{an}的通项公式为an=n.(3分)

(2) ①设数列{bn}的前n项和为Bn.

2

2

由③-④得

3(2n-1)-3(2n1-1)=(b1a2n-1+b2a2n-3+…+bn-1a3+bna1+2n)-(b1a2n-3+b2a2n-5+…+bn-1a1+2n-2)=[b1(a2n-3+2)+b2(a2n-5+2)+…+bn-1(a1+2)+bna1+2n]-(b1a2n-3+b2a2n-5+…+bn-1a1+2n-2)=2(b1+b2+…+bn-1)+bn+2=2(Bn-bn)+bn+2.

所以3·2n1=2Bn-bn+2(n≥2,n∈N*), 又3(21-1)=b1a1+2,所以b1=1,满足上式.

所以2Bn-bn+2=3·2n1(n∈N*),⑤ (6分)

当n≥2时,2Bn-1-bn-1+2=3·2n2,⑥

由⑤-⑥得,bn+bn-1=3·2n2.(8分)

---

bn-2n1=-(bn-1-2n2)=…=(-1)n1(b1-20)=0,

bn+1-

所以bn=2n1,=2,

bn

所以数列{bn}是首项为1,公比为2的等比数列.(10分) am3apm3p3p-

②由=,得m-1=p-1,即2pm=. bmbpm22anann记cn=,由①得,cn==n-1,

bnbn2

cn+1n+1

所以=≤1,所以cn≥cn+1(当且仅当n=1时等号成立).

cn2nam3ap由=,得cm=3cp>cp, bmbp所以m

设t=p-m(m,p,t∈N*), 由2p

-m

3p3t=,得m=t. m2-3

当t=1时,m=-3,不合题意;

当t=2时,m=6,此时p=8符合题意; 9

当t=3时,m=,不合题意;

512

当t=4时,m=<1,不合题意.

133t

下面证明当t≥4,t∈N*时,m=t<1.

2-3