发布时间 : 星期四 文章2015年高考理科数学试卷全国卷1含答案更新完毕开始阅读a5d0f19f6d85ec3a87c24028915f804d2a168725
当
n?2?1n时，
22=an?an?an?1?an?14Sn?3?4Sn?1?3=4an，即
(an?a)(a?n?1an?)，2a?(?因为aa)，所以an?an?1=2， nnn?0所以数列{an}是首项为3，公差为2的等差数列， 所以an=2n?1； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn=所
以
数
列
{
1111?(?)，
(2n?1)(2n?3)22n?12n?3bn?(}前n项和为
b1?b2??bn=
11111[(?)?(?)?235571111?)] =?. 2n?12n?364n?6考点：数列前n项和与第n项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法 18.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）3 3【解析】 试题分析：（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG，FG，EF，在菱形ABCD中，不妨设GB=1易证EG⊥AC，通过计算可证EG⊥FG，根据线面垂直判定定理可知EG⊥平面AFC，由面面垂直判定定理知平面AFC⊥平面AEC；（Ⅱ）以G为坐标原点，分别以GB,GC的方向为x轴，y轴正方向，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，利用向量法可求出异面直线AE与CF所成角的余弦值. 试题解析：（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG，FG，EF，在菱形ABCD中，不妨设GB=1，由∠ABC=120°，可得AG=GC=3. 由BE⊥平面ABCD，AB=BC可知，AE=EC， 又∵AE⊥EC，∴EG=3，EG⊥AC，
在Rt△EBG中，可得BE=2，故DF=2. 2在Rt△FDG中，可得FG=6. 2232可得EF=， 22在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=2，DF=222∴EG?FG?EF，∴EG⊥FG，
∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC，
∵EG?面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC.
（Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以GB,GC的方向为x轴，y轴正方向，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，由（Ⅰ）可得A（0，－3，0），E（1,0, 2），
F（－1,0，分
22），C（0，3，0），∴AE=（1，3，2），CF=（-1，-3，）.…1022故cos?AE,CF??AE?CF3. ??3|AE||CF|3. 3所以直线AE与CF所成的角的余弦值为
考点：空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力
19.【答案】（Ⅰ）y?c?dx适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型；（Ⅱ）y?100.6?68x（Ⅲ）46.24
【解析】 试题分析：（Ⅰ）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（Ⅱ）令先求出建立y关于w的线性回归方程，即可y关于x的回归方程；（Ⅲ）（ⅰ）w?x，
利用y关于x的回归方程先求出年销售量y的预报值，再根据年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x即可年利润z的预报值；（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值，列出关于x的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用.
试题解析：
（Ⅰ）由散点图可以判断，y?c?dx适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型.
（Ⅱ）令w?x，先建立y关于w的线性回归方程，由于d??(w?w)(y?y)iii?18?(w?w)ii?18=
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108.8=68， 16∴c?y?dw=563-68×6.8=100.6.
∴y关于w的线性回归方程为y?100.6?68w， ∴y关于x的回归方程为y?100.6?68x.
（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当x=49时，年销售量y的预报值
y?100.6?6849=576.6， z?576.6?0.2?49?66.32.
（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值
z?0.2(100.6?68x)?x??x?13.6x?20.12，
∴当x=13.6=6.8，即x?46.24时，z取得最大值. 2故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大.……12分
考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识 20.【答案】（Ⅰ）ax?y?a?0或ax?y?a?0（Ⅱ）存在
【解析】 试题分析：（Ⅰ）先求出M,N的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将y?kx?a代入曲线C的方程整理成关于x的一元二次方程，设出M,N的坐标和P点坐标，利用设而不求思想，将直线PM，PN的斜率之和用a表示出来，利用直线PM，PN的斜率为0,即可求出a,b关系，从而找出适合条件的P点坐标. 试题解析：（Ⅰ）由题设可得M(2a,a)，N(?22,a)，或M(?22,)a，N(2a,a).
x21∵y??x，故y?在x=22a处的到数值为a，C在(22a,a)处的切线方程为
24y?a?a(x?2a)，即ax?y?a?0.
x2故y?在x=-22a处的到数值为-a，C在(?22a,a)处的切线方程为
4y?a??a(x?2a)，即ax?y?a?0.
故所求切线方程为ax?y?a?0或ax?y?a?0. （Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：
设P（0，b）为复合题意得点，M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1,k2.
将y?kx?a代入C得方程整理得x2?4kx?4a?0. ∴x1?x2?4k,x1x2??4a. ∴k1?k2?y1?by2?b2kx1x2?(a?b)(x1?x2)k(a?b)==. ?ax1x2x1x2当b??a时，有k1?k2=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补， 故∠OPM=∠OPN，所以P(0,?a)符合题意.
考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力
3353；（Ⅱ）当a??或a??时，h(x)由一个零点；当a??4444553或a??时，h(x)有两个零点；当??a??时，h(x)有三个零点.
44421..【答案】（Ⅰ）a?【解析】
试题分析：（Ⅰ）先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的a值；（Ⅱ）根据对数函数的图像与性质将x分为x?1,x?1,0?x?1研究h(x)的零点个数，若零点不容易求解，则对a再分类讨论.
试题解析：（Ⅰ）设曲线y?f(x)与x轴相切于点(x0,0)，则f(x0)?0，f?(x0)?0，
1?3x?ax??013?00即?，解得x0?,a?. 424?3x2?a?0?0因此，当a?3时，x轴是曲线y?f(x)的切线. 4时，g(x)??lnx?0，从而h(x)?min{f(x),g(x)}?g(x)?0，
（Ⅱ）当x?1(,??)∴h(x)在（1，+∞）无零点.
55()?a?0?，h(1)?min{f(1),g(1)}?g(1)?0,故x=1，则f144551)?a??0，h(1)?min{f(1),g(1)}?f(1)?0,是h(x)的零点；若a??，则f(44当x=1时，若a??故x=1不是h(x)的零点.
当x?(0,1)时，g(x)??lnx?0，所以只需考虑f(x)在（0,1）的零点个数. （ⅰ）若a??3或a?0，则f?(x)?3x?a在（0,1）无零点，故f(x)在（0,1）单调，而f(0)?215，f(1)?a?，所以当a??3时，f(x)在（0，1）有一个零点；当44a?0时，f(x)在（0，1）无零点.
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