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现代信号处理新方法试题
一、 填空题
1、平稳随机信号是指： 。 判断随机信号是否广义平稳的三个条是： 。
高斯白噪声信号是指： 。
信号的遍历性是指： 。
广义遍历信号x(n)的时间均值的定义为： 其时间自相关函数的定义为：
件
2、离散随机信号x(n)的能量定义为： 。 其功率定义为： 。
3. 因果系统是指： 。
4、对平稳随机信号，其自相关函数为Rx(?)，自协方差函数为Cx(?)，当当???时，有：Rx(?)= ，Cx(?)＝ 。
5、高斯－马尔可夫随机信号的自相关函数的一般表达式可表示为 。
10e?4|?|，其均值为 ，方差6、高斯–马尔可夫信号x(t)的自相关函数为Rx(?)＝为 。其一阶概率密度函数的表达式
为： 。
7、求MA(1)的功率谱的一般表达式为 。
8、由Wold分解定规定理推论可知，任何AR或ARMA序列均可用 来表示。
9、经典功率谱估计的方法主要有 和 两大类。对经典谱估计的改进措施主要有 。 10、设计维纳滤波器时使用的正交性原理是指： 。 11、在训练自适应滤波器时，收敛速度与学习率及输入信号的自相关矩阵的最小特征值取值有关。学习率越大，收敛速度越 ；最小特征值越小，收敛速度越 。 12、谱估计的分辨率是指 。
在经典谱估计中，决定其分辨率的主要因素
是 。
二、 问答题
1、什么叫能量信号？什么叫功率信号？
2、什么叫线性时不变系统？什么叫因果系统？ 3、如何判断一个线性时不变系统是稳定的？
4、强平稳随机信号和广义平稳随机是如何定义的？
5、对于连续时间信号和离散时间信号，试写出相应的维纳－辛欣定理的主要内容。 6、试列举出随机信号的功率谱密度函数的三条性质。
7、什么是估计的偏差？什么叫无偏估计？什么叫渐进无偏估计？
8、请写出ARMA(p,q)的数学模型表达式，并画出该模型的电路框图。 9、请写出AR(p)的数学模型表达式，并画出该模型的电路框图。 10、
请写出MA(q)的数学模型表达式，并画出该模型的电路框图。
11、 什么是谱估计的分辨率？在经典谱估计中，决定其分辨率的主要因素是什么？ 12、 BT谱估计的理论根据是什么？请写出此方法的具体步骤。 13、 AR谱估计的基本原理是什么？与经典谱估计方法相比，其有什么特点？ 14、 Burg算法有什么特点？ 15、 试简要说明设计维纳滤波器的一种方法。 16、 梯度搜索法的基本原理是什么？Widrow提出的LMS算法与基本的梯度法有何不同？试写出Widrow提出的LMS算法的基本步骤。
三、 证明题
22(t)?mx(t) 1、 均值函数、均方函数及方差函数三者之间满足如下关系：Dx(t)??x2、试证明：对于广义平稳随机信号，其自相关函数、自协方差函数与均值之间如下关系：
2Rx(?)?Cx(?)?mx。
3、对平稳随机序列，设x0，x1,?,xN?1是观察到的N个样本，如果其均值mx已知，对方
2?x差的估计为：?1?NN?1n?0?(xn?mx)2，请证明，此估计是无偏的，并且是一致的。
4、 令x(n)是一个平稳白噪声过程，它的均值为零、方差为??2。又令y(n)是冲激响应为h(n)的线性非移变系统在输入为x(n)时的输出。
2 (a) 证明E[x(n)y(n)]?h(0)?x；
(b) 证明?
2y2??xk????h2(n)。
?四、 计算题
1、对随机初相正弦信号随机相位正弦信号X(t)?Asin(?0??),A,?0为常数，?是在
[0,2?]间均匀分布的随机变量，试考察此信号是否是广义遍历的？写出计算过程。（15分）
2、对如下AR(1)的随机信号：x(n)?ax(n?1)?u(n)，求其的自相关函数及功率谱密度函数。（10分）
3、设随机信号x(t)?Acos?0t?Bsin?0t,?0为正常数，A,B为相互独立的随机变量，且
E(A)?E(B)?0,D(A)?D(B)??2。试讨论x(t)的平稳性。
4. 根据图题15，写出平稳信号x(t)的自相关函数x(t)的表达式，并求信号x(t)的均值、均方值、自协方差函数和方差。
4、 如下AR(1)的随机信号：x(n)?2x(n?1)?u(n)，u(n)是零均值的高斯白噪声，求信号x(n)的自相关函数及功率谱密度函数。该AR系统是否是稳定的？（10分）
5、已知零均值白噪声信号u(n)的瞬时功率为1，试计算二阶MA(2)模型
x(n)?u(n)?u(n?1)?2u(n?2)的自相关函数及功率谱密度。该模型是否是稳定
的？（10分）分段函数！
6、 虑如图所示单权自适应滤波器，且：
E[x2(n)]?1,E[x(n)x(n?1)]?0.5,E[d2(n)]?4,E[d(n)x(n)]??1,E[d(n)x(n?1)]?1
(a)、试导出误差性能函数表达式，大致画出误差性能函数的图形； (b)、求出最佳滤波器系数及最小均方误差；
(c)、如果用LMS算法来设计此滤波器，请写出完整的LMS迭带算法。
d(n)z?1x(n)?1???????(n)
?1?d(n)根据图?(n)?x(n)?x(n?1)
?2(n)?[x(n)?x(n?1)?1?d(n)][x(n)?x(n?1)?1?d(n)]?x2(n)?2x(n)x(n?1)?1?2x(n)d(n)?x(n?1)x(n?1)?12 ?2x(n?1)d(n)?1?d(n)d(n)E[?2(n)]?E[x2(n)]?E[2x(n)x(n?1)]?1?2E[x(n)d(n)]?E[x(n?1)x(n?1)]?12 ?2E[x(n?1)d(n)]?1?E[d(n)d(n)]?1?2?0.5?1?2??12?2?1?4??12??1?7127?(?1?)2?24最佳系数：?1?0.5
对应的误差为27/4
LMS算法参见教材 关键部分，很重要！！
7、设原始信号为x?n?. 定义y?n??x?Ln?1?, L为正整数, 试推导Y?z?与X?z?之关系. (15分)
8、
设输入信号x服从分布f(x)???2x,?0,x?[0,1]其它, 对x进行二层量化（1bit量化），求
最佳量化区间及量化电平. 失真测度采用平方距离.（15分）
9、用AR(?)表示MA(2)。
10、设MA(2)模型为x(n)?b1x(n?1)?b2x(n?2)?u(n)。
222(1?b1?b2?2b1(1?b2)cos??2b2cos2?)?1。 (1) 求x(n)的功率谱Sx(?)??x (2) 求x(n)的自相关函数。
(3) 写出相应的Yule-Wolder方程。????????? 也就是用b1 b2 表示
11、令c(n)表示白噪声序列，s(n)表示一个与c(n)不相关的序列。试证明序列
y(n)?s(n)c(n)是白色的，即E[y(n)y(n?m)]?A?(m)，式中A是常数。模型。
E[y(n)y(n?m)]?E[s(n)c(n)s(n?m)c(n?m)]?E[s(n)s(n?m)]E[c(n)c(n?m)](s(n)和c(n)不相关)＝Rs(m)Rc(m)?Rs(m)?(m)(c(n)是白噪声)＝Rs(0)?(m)(?(.)函数的性质)＝A?(m)(A?Rs(0))