发布时间 : 星期三 文章高考数学二轮复习导数及其应用教案更新完毕开始阅读a6535159988fcc22bcd126fff705cc1754275f74
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导数及其应用
【专题要点】
1. 导数的定义:利用导数的定义解题;
2. 求导数(包括求导函数和某一点的导数);
3. 导数的简单应用,包括求函数的极值,求函数的单调区间,证明函数的单调性等,复
现率较高;
4. 导数在实际问题中的应用(利润最大,用料最省,效率最高等优化问题);
5. 综合考查,将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布、
解析几何中的切线问题等有机地结合在一起，设计综合问题。包括：
（1） 函数、导数、方程、不等式综合在一起，解决单调性、参数的范围等问题，这
类问题涉及含参数的不等式、不等式的恒成立的求解；
（2） 函数、导数、方程、不等式综合在一起，解决极值、最值等问题，这类问题涉
及求极值和极值点、求最值，有时需要借助方程的知识求解；
（3） 利用导数的几何意义求切线方程，解决与切线方程有关的问题； （4） 通过构造函数，以导数为工具证明不等式；
（5） 导数与解析几何或函数图像的混合问题，这是一个重要问题，也是高考中考察
综合能力的一个方向 【考纲要求】
⑴了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．
xxn⑵熟记基本导数公式（C,x(n为有理数),sinx.cosx,logax,a,e,lnx的导数）．掌
握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数． ⑶了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数要极值点两侧异号），会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．
【知识纵横】
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f?x0??x??f?x0??01定义：fx?lim?0??x?0??x????1?公式：①常函数，②指，③对，④幂，⑤复合函数。?0??2运算??u????????2?法则：①?au?，②?u?v?，③?uv?，④???v??????1?物理意义：瞬时速度及加速度????斜率：求法有三①知两点②知倾角③求导??0???3意义：?①在该点出的切线方程,??2几何意义??????切线方程：②过某点做曲线的切线方程,?????③知切线求参数值.???????导数???①证明或判断单调性；????1单调性???②求单调区间；???③知单调，求参数范围.???????①求极值；????2求两函数值???②求最值；??40应用：??③知极值或最值，求参数值.??????3?f?x?与f??x?的图像关系 ?????①证明不等式；????4?综合应用?②比较实数大小；????③讨论方程根的个数.?????【教法指引】
（1）近几年各地高考题一直保持对导数知识考查力度，体现了在知识网络交汇点出题的命题风格，重点考查导数概念、单调性、极值等传统、常规问题，这三大块内容是本专题复习的主线，在复习中应以此为基础展开，利用问题链向学生展示题目间的内在联系，揭示解题的通法通解，如讲解利用导数处理函数单调性问题时，可设计这样的问题链：已知函数求单调区间?知函数在区间上单调求参数?若函数不单调如何求参数．
（2）要认识到新课程中增加了导数内容，增添了更多的变量数学，拓展了学习和研究的领域，在复习中要明确导数作为一种工具在研究函数的单调性、极值等方面的作用，这种作用不仅体现在导数为解决函数问题提供了有效途径，还在于它使学生掌握了一种科学的语言和工具，能够加深对函数的深刻理解和直观认识
（3）在教学中有意识的与解析几何（特别是切线、最值）、函数的单调性，函数的最值极值，二次函数，方程，不等式，代数不等式的证明等进行交汇，综合运用。特别是精选一些以导数为工具分析和解决一些函数问题、切线问题的典型问题，以及一些实际问题中的最大（小）值问题
【典例精析】
1.导数定义的应用
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例1 (2008北京高考）如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别
y A C 4 f?1??x??f?1?3 ?_________． 为(0，，，，，4)(20)(64)， lim?x?0?x2 1 B 0?x?2??2x?4 O 1 2 3 4 5 6 x 解：由图可知f?x??，根据导数的定义
?2?x?3?x?2 知lim?x?0f?1??x??f?1??f??1???2．
?x例２(2006重庆高考)已知函数f?x??x?bx?ce,其中b,c?R，（Ⅰ）略，（Ⅱ）若
2x??b2?4?c?1?,且limx?0f?x??c?4，试证：?6?b?2． x2x解：f??x??x??b?2?x?b?ce，易知f?0??c．故
??limx?0f?x??cf?x??f?0??lim?f??0??b?c，
x?0xx?0?b?c?4,所以?2解得?6?b?2．
??b?4c?1,?2. 利用导数研究函数的图像
例3 （2009安徽高考）设a＜b,函数y?(x?a)(x?b)的图像可能是
2
解：y?(x?a)(3x?2a?b)，由y?0得x?a,x?0，当x?//2a?b，∴当x?a时，y取极大值32a?by?0时y取极小值且极小值为负．故选C．或当x?b时y?0，当x?b时，
3选C．
点评:通过导数研究函数图像的变化规律,也是考试的热点题型.
例4（20XX年湖南卷）若函数y?f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数， ．．．则函数y?f(x)在区间[a,b]上的图象可能是
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y y y y o a b x o a
o b x a
o b x a
b x
A ． B． C． D．
解: 因为函数y?f(x)的导函数．．．y?f?(x)在区间[a,b]上是增函数，即在区间[a,b]上各点处函数的变化率是递增的，故图像应越来越陡峭．由图易知选A. 点评：这是一道非常精彩的好题，题目考察了导数的概念——函数的变化率以及图像的变化规律，是以高等数学中函数图像的凹凸性为背景命制的，虽然试题的设计来源于高等数学，但考察的还是中学所学的初等数学知识．这也是近年来高考命题的一大特色． 3.利用导数解决函数的单调性问题
例5（2008全国高考）已知函数f(x)?x?ax?x?1，a?R． （Ⅰ）讨论函数f(x)的单调区间；
32??内是减函数，求a的取值范围． （Ⅱ）设函数f(x)在区间??，解：（1）f(x)?x?ax?x?1求导得f?(x)?3x?2ax?1 当a?3时，??0，f?(x)?0，f(x)在R上递增；
2322?2?31?3??a?a2?3当a?3，f?(x)?0求得两根为x?，
32???a?a2?3?a?a2?3??a?a2?3?，即f(x)在???，?递增，??递减，
????333??????a?a2?3?，???递增。 ???3????内是减函数，所以当x???，??时f??x??0恒（2）因为函数f(x)在区间??，?2?31?3??2?31?3???2??f???3??0???成立，结合二次函数的图像可知?解得a?2．
?f???1??0?????3?