发布时间 : 星期日 文章用轴对称知识求线段和的最小值更新完毕开始阅读a68a1d6f6c175f0e7cd13780
例3(2010江苏扬州)如图3,在直角梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,AD=4,AB=5,BC=6,点P是AB上一个动点,当PC+PD的和最小时,PB的长为__________.
分析:在这里有一个动点,两个定点符合对称点法求线段和最小的思路,所以解答时可以用对称法.
解:如图3所示,作点D关于直线AB的对称点E,连接CE,交AB于点P,此时PC+PD和最小,为线段CE.因为AD=4,所以AE=4.因为∠ABC=90°,AD∥BC,所以∠EAP=90°.
因为∠APE=∠BPC,所以△APE∽△BPC,所以.因为AE=4,BC=6,
所以PB=3.
,所以,所以,因为AB=5,所以
2.2在等腰梯形中探求线段和的最小值
例4 如图4,等腰梯形ABCD中,AB=AD=CD=1,∠ABC=60°,P是上底,下底中点EF直线上的一点,则PA+PB的最小值为 .
分析:根据等腰梯形的性质知道,点A的对称点是点D,这是解题的一个关键点.其次运用好直角三角形的性质是解题的又一个关键.
解:如图4所示,因为点D关于直线EF的对称点为A,连接BD,交EF于点P,此时PA+PB和最小,为线段BD.过点D作DG⊥BC,垂足为G,因为四边形ABCD是等腰梯形,且AB=AD=CD=1,∠ABC=60°,所以∠C=60°,∠GDC=30°,
所以GC=,DG=.因为∠ABC=60°,AD∥BC,所以∠BAD=120°.因为AB=AD,
所以∠ABD=∠ADB=30°,所以∠ADBC=30°,所以BD=2DG=2×的最小值为
.
=.所以PA+PB
2.3在菱形中探求线段和的最小值
例5 如图5菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,E是AB的中点,P是对角线AC上的一个动点,则PE+PB的最小值为 .
分析:根据菱形的性质知道,点B的对称点是点D,这是解题的一个关键点.
解:如图5所示,因为点B关于直线AC的对称点为D,连接DE,交AC于点P,此时PE+PB和最小,为线段ED.因为四边形ABCD是菱形,且∠BAD=60°,所以三角形ABD是等边三角形.因为E是AB的中点,AB=2,所以AE=1,DE⊥AB,所以ED=
=.所以PE+PB的最小值为.
2.4在正方形中探求线段和的最小值
例6 如图6所示,已知正方形ABCD的边长为8,点M在DC上,且DM=2,N是AC上的一个动点,则DN+MN的最小值为 .
分析:根据正方形的性质知道,点B的对称点是点D,这是解题的一个关键点.
解:如图6所示,因为点D关于直线AC的对称点为B,连接BM,交AC于点N,此时DN+MN和最小,为线段BM.因为四边形ABCD是正方形,所以BC=CD=8.因为DM=2,所以MC=6,所以BM=为10.
=10.所以DN+MN的最小值