发布时间 : 星期一 文章大学物理第3章 刚体定轴转动与角动量守恒更新完毕开始阅读a68ef3f50b4c2e3f56276351
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和。
在国际单位制中，力矩的单位是牛顿?米，符号为N?m。 2. 转动定律
????在研究质点运动时，牛顿第二定律F?ma给出了合外力F和加速度a的关系。
在研究刚体的运动时，由于刚体用各质点的合内力为0，在此不讨论合内力矩。刚体在外力矩的作用下作定轴转动，我们可以将刚体划分为n个质元?mi，每一质元的运
??动均应遵守牛顿运动定律，即 Fi??miai
???????2对质元?mi的力矩 Mi?Firi??miairi??mi(?ri)ri??mri?
????d??Mi??(?miri2)? M?J??Jdt (3-11)
此式表明刚体做定轴转动时，刚体对定轴的转动惯量与其角加速度的乘积等于刚体所受外力的合外力矩，称为刚体定轴转动定律。牛顿第二定律是解决质点运动问题的基本方程，转动定律是解决刚体定轴转动问题的基本方程。
如果刚体所受的合外力矩为零，则由转动定律可知角加速度为零，即刚体处于静止或匀角速转动状态。 例3-5 一个转动惯量为J?5 kg·m2、直径为d?0.50 m的飞轮，正以角速度?0?120 rad / s的旋转．现用闸瓦将其制动，如果闸瓦对飞轮的正压力为
Fn?1000N，闸瓦与飞轮之间的摩擦系数为0. 60。求：1) 从开始制动到停止，
飞轮转过的角度；2) 闸瓦对飞轮施加的摩擦力矩所作的功。
解：1) 为了求得飞轮从制动到停止所转过的角度θ，必须先求得摩擦力Ff、摩擦力矩M和飞轮的角加速度β。如图所示，飞轮的转轴垂直于纸面，角速度沿着转轴并指向读者，我们取角速度的方向为z轴正方向。
摩擦力的大小等于摩擦系数与正压力的乘积，即 Ff??FN?0.6?1000?600N
摩擦力Ff的方向如图所示。摩擦力Ff对z轴力矩M的方向与角速度?方向相反，沿z轴的负方向，故需取负值，大小为 M?dFf??0.25?500??125N?m 2M125????5rad/s2 J5根据转动定理，可知飞轮受到摩擦力矩作用时的角加速度为负值，即 ??对于匀变速转动，从开始制动到停止，飞轮转过的角度θ
2?2??00?1202????1440rad
2??2?5可由?2??0?2??求得，即
2例3-6 一均匀细捧长L，如图所示悬挂。求将A端悬线剪断瞬间。细捧绕O的角加速度。
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解：设棒的质量为m。由于O点悬线张力通过O点。对O的力矩为零，所以在A点悬线剪断瞬间，棒所受的力矩仅有重力力矩。对过O且垂直于纸面的转轴有 M=mg·L/4 以O为原点建立如图所示坐标系，棒对过O且垂直于纸面的轴的转动惯量为
J??rdm???L4x2243Lm7dx?mL2L48??Mmg?L/412g??J7mL2/487L§3-4 刚体转动的功和能
1. 力矩的功
我们已经知道，如果质点在外力作用下沿力的方向位移则力对质点作功，且功可由作用力和质点在作用力下沿力的方向位移的乘积表示。刚体转动过程中力作的功以力矩的形式表示，力矩作功的情况与质点运动过程中外力作功的定义类似。
??刚体在外力F的作用下沿圆周轨道运动了ds，绕转轴角位移d?，从转轴到力的作用点的矢径为r，则力
的作用点的位移的大小为ds?rd?，因而有 dA?Fds?Frd? （3-12） 将力矩M?rF代入，因此有 dA?Md? （3-13）
即力对转动刚体作的元功等于相应的力矩和该力矩作用下所发生的角位移的乘积。则此力矩对刚体做功为
?2A??Md? （3-14）
?上式称为力矩的功，力矩所做的功，实质上仍是力所做的功。如果刚体同时受几个力的作用，则力矩M应
理解为这几个力的合力矩。
根据功率的定义，可得力矩的功率为 P??1dAd??M?M? （3-15） dtdt力矩做功的功率等于力矩和刚体角速度的乘积，当力矩与角速度同向时功率为正，反之为负。 这里的功的SI单位是焦耳（J），功率的SI单位是瓦特（W），和质点力学中的一致。
2. 定轴转动的动能定理
质点的动能定理是由牛顿第二定律导出的，相类似的是刚体转动的动能定理将由转动定律导出，力矩对转动刚体作的元功为 dA?Md??J?d??Jd?d??J?d? dt在外力矩作用下，角速度由?1变成?2时，外力矩对刚体做的功为
A??Md???J?d???1?2112J?2?J?12 （3-16） 22此式称为刚体定轴转动的动能定理。表明，刚体绕定轴转动时，刚体所受合外力矩所做的功等于刚转动动能的增量。
§3-5 角动量 角动量守恒定律
在前面，我们曾用动量p?mv来描述质点运动状态，引入了动量定理和动量守恒定律，它们为解决质点运动带来很多方便。在研究转动问题时，我们也可类似地引入角动量、角动量定理和角动量守恒定律，它们
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在解决转动问题时同样会给我们带来极大的方便。
1. 质点的角动量定理 质点的角动量守恒定律 1) 质点的角动量
???设一质量为m的质点P，它对O点的位置矢量为r，并具有速度v。质点P对O点的角动量L (曾称为
动量矩)为 L?r?mv?mr?v （3-17）
质点P相对于参考点O的角动量等于质点的位置矢量与其动量的矢积。角动量是一个矢量，它的方向垂直于矢量r和mv组成的平面，三者的方向满足右手螺旋法则，即右手四指由r经小于π的角θ转向mv时，拇
??????????指的指向就是L的方向。其大小为 L?mrvsin? （3-18）
式中θ为r与mv之间的夹角。
质点的角动量与参考点O密切相关，因此在讲述质点的角动量时，必须指明是对哪一点的角动量。当质
?????sin??1，L?mrv。由于v?r?，因此L可以写成L?mr2?。因为点绕O点作圆周运动时，??90，O??质点作圆周运动时，其转动惯量J?mr，所以角动量又可表示为 L?J?
2??此关系在转动中普遍适用，显然L的方向垂直于平面，即与?的方向相同。
在国际单位制中，角动量L的单位是kg?m2/s，其量纲为MLT2) 质点的角动量定理
我们一直强调将质点运动与刚体转动比较学习，在质点运动中，质点所受合外力F与其动量P的关系为
2?1。
????dP??F?，那么在质点转动中，其所受合外力矩M与其角动量L的关系如何呢？
dt?????dvdr?dL???m(r???v) 角动量的定义为 L?mr?v，对其两边微分得 dtdtdt???????dv?dr?dL?a，?v，因此 ?m(r?a?v?v) 由于 dtdtdt???????dL?m(r?a)?r?ma 由于 v?v?0，所以 dt????dL???r?F?M 由于 F?ma，所以 dt???dLd(J?)?因此 M? dtdt作用在一个质点上的合外力矩等于该质点的角动量对时间的变化率，称为质点角动量定理。
3) 质点角动量守恒定律
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当作用于质点的合外力矩为零（M?0）时，由角动量定理可以导出角动量守恒定律。当合外力矩为零时， Jω=恒量 或 J1?1?J2?2 （3-19）
即当物体所受的合外力矩为零时，物体的角动量Jω保持不变，这一结论称为角动量守恒定律。
2. 刚体绕定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律 1) 刚体绕定轴转动的角动量定理
刚体以角速度?绕z轴转动时，刚体的各质元均绕z轴做圆周运动。设质量为?mi的质元到轴的距离为ri，
???????速度为vi，则质元对z轴角动量为ri?mivi。刚体中所有质元的角动量之和称为刚体对转轴的角动量，用L表
????2?示，则 L???mirivi?(??miri)??J? (3-20)
ii????d?d(J?)dL??这样刚体的转动定律也可表示为 M?J （3-21） dtdtdt此式为矢量式，表示当刚体绕定轴转动时，作用在刚体的合外力矩等于刚体绕该轴的角动量随时间的变化率，这是用角动量表示的转动定律，更具有普遍意义，即使绕定轴转动物体的转动惯量J因内力发生变化时仍然
??dP??适用。这与牛顿第二定律的表达式F?比F?ma更具有普遍意义是一样的。
dt?
设有一转动惯量为J的刚体绕定轴转动，在合外力矩M的作用下，由时间t1到t2的时间内，其角速度由
t2??????1变为?2,由式（2-99）可得 ?Mdt?J2?2?J1?1 (3-22)
t1式中
?t2t1?Mdt称为力矩对给定轴的冲量矩。转动物体受到的冲量矩等于物体在这段时间内角动量的增量，这一
关系称为角动量定理。
2) 角动量守恒定律
?当作用于转动物体的合外力矩为零（M?0）时，由角动量定理可以导出角动量守恒定律。当合外力矩
为零时， Jω=恒量 或 J2?2?J1?1 （3-23）
即当物体所受的合外力矩为零时，物体的角动量Jω保持不变，这一结论称为角动量守恒定律。
角动量守恒定律与动量守恒定律和能量守恒定律一样，适用范围超越牛顿定律。它们即适用于研究接近光速粒子的相对论，也适用于研究亚原子的量子力学。
3．空间旋转对称性和角动量守恒定律
角动量守恒定律的普遍性在于它和空间旋转对称性相关联。空间的旋转对称性也称为空间各向同性，即空间所有方向对物理定律等价，没有哪一个方向比其他方向更优越。由于物理定律在所有方向上形式相同，任一给定实验的发展进程与该实验装置在空间的取向无关，所以空间的绝对方向是不可观测的。这就意味着，如果一个孤立系统在空间某个角位置具有角动L那么在另一个角位置也应具有相同的角动量L。否则这两个方向的物理定律将不相同。孤立系统的角动量保持不变，这就是角动量守恒定律。
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