发布时间 : 星期一 文章大学物理第3章 刚体定轴转动与角动量守恒更新完毕开始阅读a68ef3f50b4c2e3f56276351
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为了有助于从整体上系统的理解力学规律，我们把质点的运动规律和刚体的定轴转动规律列为下表对比。通过对比可以加深对刚体定轴转动的理解，帮助记忆。
表2-3质点的运动规律和刚体的定轴转动规律对比
质点的运动 刚体的定轴转动 角速度 ??drv?速度 dt ?d?dt dVd2r加速度a??2 dtdt力 F 质量 m d?d2??2角加速度 ??dtdt力矩 M ?F?r 2r?dm 转动惯量 I=运动定律 F动量P?ma 12mv 2动量P转动定律 M?I? 12I? 2?mv、动能Ek????mivi、动能Ek?i角动量 L?r?mv 角动量 L角动量定理 M?I? d(mv)动量定理 F? dt动量守恒 ?d(I?)?I?dti?Fii?0，?miv=恒量 i角动量守恒 M?0，?I?=恒量 动能定理 A?1122mvB?mvA 22动能定理 A?1122I?B?I?A 22例3-9 如图所示，长为L，质量为m1的均匀细棒能绕一端在铅直平面内转动。开始时，细棒静止于竖直位置。现有一质量为m2 的子弹，以水平速度v0射入细棒下端而不射出。求细棒和子弹开始一起运动时的角速度？
分析：由于子弹射入细棒的时间极短，我们可以近似地认为：在这一过程中，细棒仍然静止于竖直位置。因此，对于子弹和细棒所组成的系统（也就是研究对象）在子弹射入细棒的过程中，系统所受的合外力（重力和轴的支持力等）对转轴O的力矩都为零。根据角动量守恒定律，系统对于O轴的角动量守恒。
解：依题意可设v和ω分别为系统开始的速度和角速度，且已知子弹和细棒对
2于转轴O的转动惯量分别为J2?m2L 和J1?
1m1L2,根据角动量守恒定律则有:当M = 0时, Lz?J? 3所以 m2V0L?J? 解方程,可得 ??3m2V0(rad/s)。
(3m2?m1)L*§3-6 进动
当陀螺不旋转时，由于受重力矩作用，它会躺倒在地。但当陀螺
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绕自身对称轴高速旋转时，尽管同样受到重力矩的作用，却不会倒下来。陀螺一边自转一边绕竖直?轴缓慢转动，这种运动称为进动。我们用角动量定理来分析陀螺进动的机理。陀螺所受重力矩
????dLM?rC?mg?dt?? 即 dL?Mdt
??????由于M⊥L，且M与dL方向一致，因此重力的力矩M只改变角动量的方向而不改变其大小，则L矢
?d??量的端点将绕竖直轴作圆周运动，半径是Lsinθ，此圆周运动的角速度就是陀螺旋进的角速度?，即 ??
dt??d??dLM??因 dL?Lsin?d? 则 ?? dtLsim?dtLsin?旋进运动在技术上有广泛应用。例如在炮膛和枪膛内壁刻上螺旋形来复线，使弹体射出后高速旋转。这样空气阻力矩就只能使弹体绕前进方向旋进而不致使其翻转。在航空和航海中长期用于导航的陀螺仪就是根据进动的原理设计的。当前，在航天、导弹、航空和航海中用于导航的为光纤陀螺仪。 例4 求质量m、半径R的圆环对直径的转动惯量(见图)。 解：设圆环质量线密度为λ λ=m/2πR 在环上取质元dm dm=λdl=λRdθ dm到直径AB的距离 r=Rsinθ 圆环对直径的转动惯量 J?rdm??2?2?02R2sin?m1?Rd??mR2 2?R22
例5 求质量m、半径R的球壳对直径的转动惯量(见图)
解：设球壳质量面密度为σ σ=m/4πR
将球壳视为由许多环面与直径AB垂直的圆环组成。以这样的圆环为积分元，其质量为 dm=σdS=σ·2πr·Rdθ
环半径为 r=Rsinθ 球面对直径的转动惯量为 J?rdm??2??02R2sin?m2?2?Rsin?Rd??mR2 234?R例6求质量m、半径R的球体对直径的转动惯量(见图10)。 解：球体的密度为??m43?R3
将球体视为由许多同心球壳组成。以半径为r，厚为dr的球壳为积分元，其质量为 dm=ρdV=ρ·4πr2dr 由[例5]的结果，dm对直径AB的转动惯量为 J?2mR2 3R2m22?r2??4?rdr?mR2 球体对直径的转动惯量为为 J??dJ??20354?R/3 42
在计算刚体对定轴的转动惯量时还时常运用以下法则：
例8 两个匀质圆盘，一大一小，同轴地粘结在一起，构成一个组合轮，小圆盘的半径为r，质量为m；大圆盘的半径r'＝2r，质量m'＝2m。组合轮可绕通过其中心且垂直于盘面的光滑水平固定轴 O转动，对O轴的转动惯量J＝ 9mr2/2。两圆盘边缘上分别绕有轻质细绳，细绳下端各悬挂质量为m的物体A和B如图14所示。这一系统从静止开始运动，绳与盘无相对滑动，绳的长度不变。已知r＝10cm，求组合轮的角加速度β。
解：各物体受力情况如图14所示。对物体A、B分别应用牛顿第二定律，对轮轴用转动定律有 T-mg=ma mg-T'=ma' T'·2r-Tr=9mr2β/2 又由角量和线量的关系 a=rβ a'=2rβ 从以上各式可以解出组合轮的角加速度??2g19r?10.3rad/s2 43
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