发布时间 : 星期一 文章(人教版)2020版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何初步 第6节 空间向量及其运算学案 北师大版更新完毕开始阅读a69468314793daef5ef7ba0d4a7302768f996f51
1.已知a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为( ) A.－2
14B.－
3
2
14C. 5
D.2
解析 由题意知a·(a－λb)＝0，即a－λa·b＝0，所以14－7λ＝0，解得λ＝2. 答案 D
2.在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是( ) A.垂直 C.异面
B.平行 D.相交但不垂直
→→→→→→
解析 由题意得，AB＝(－3，－3，3)，CD＝(1，1，－1)，所以AB＝－3CD，所以AB与CD共线，又AB与CD没有公共点，所以AB∥CD. 答案 B
3.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.→→→→
若AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则下列向量中与BM相等的向量是( ) 11
A.－a＋b＋c
2211
C.－a－b＋c
22
11
B.a＋b＋c 2211
D.a－b＋c 22
→→→→1→→
解析 BM＝BB1＋B1M＝AA1＋(AD－AB)
2111
＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.
222答案 A
4.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，→→
则AE·AF的值为( ) A.a 12
C.a 4
2
12B.a 2D.32a 4
→→→
解析 如图，设AB＝a，AC＝b，AD＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量两两夹角为60°. →
AE＝(a＋b)，AF＝c，
12
→
12
9
1→→1
∴AE·AF＝(a＋b)·c
22
112122
＝(a·c＋b·c)＝(acos 60°＋acos 60°)＝a. 444答案 C
5.如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，则OA与BC所成角的余弦值为( ) 3－22A.
51C. 2
2－2B.
6D.3 2
→→→
解析 因为BC＝AC－AB， →→→→→→所以OA·BC＝OA·AC－OA·AB
→→→→→→→→＝|OA||AC|cos〈OA，AC〉－|OA||AB|cos〈OA，AB〉 ＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝－162＋24. →→OA·BC→→
所以cos〈OA，BC〉＝
→→|OA||BC|24－1623－22＝＝.
8×55
3－22即OA与BC所成角的余弦值为.
5答案 A 二、填空题
6.(2018·郑州调研)已知a＝(2，1，－3)，b＝(－1，2，3)，c＝(7，6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ等于________.
解析 由题意知c＝xa＋yb，即(7，6，λ)＝x(2，1，－3)＋y(－1，2，3)， 2x－y＝7，??
∴?x＋2y＝6，解得λ＝－9. ??－3x＋3y＝λ，答案 －9
7.正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD中点，则EF的长为________. →2→→→2解析 |EF|＝(EC＋CD＋DF)
10
→2→2→2→→→→→→＝EC＋CD＋DF＋2(EC·CD＋EC·DF＋CD·DF)
＝1＋2＋1＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°) ＝2，
→
∴|EF|＝2，∴EF的长为2. 答案
2
2
2
2
8.(2018·南昌调研)已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OA，BC的中→→→→→→→→→
点，点G在线段MN上，且MG＝2GN，现用基底{OA，OB，OC}表示向量OG，有OG＝xOA＋yOB＋
zOC，则x，y，z的值分别为________.
→→→1→2→
解析 ∵OG＝OM＋MG＝OA＋MN
231→2→→
＝OA＋(ON－OM) 23
1→?1→2?1→→
＝OA＋?（OB＋OC）－OA?
2?23?21→1→1→
＝OA＋OB＋OC， 633111∴x＝，y＝，z＝. 633111答案 ，，
633
三、解答题
→→
9.已知空间中三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝AB，b＝AC. →
(1)若|c|＝3，且c∥BC，求向量c； (2)求向量a与向量b的夹角的余弦值.
→→
解 (1)∵c∥BC，BC＝(－3，0，4)－(－1，1，2)＝(－2，－1，2)， →
∴c＝mBC＝m(－2，－1，2)＝(－2m，－m，2m)， ∴|c|＝（－2m）＋（－m）＋（2m）＝3|m|＝3， ∴m＝±1.∴c＝(－2，－1，2)或(2，1，－2). (2)∵a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)， ∴a·b＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1，
11
2
2
2
→
又∵|a|＝1＋1＋0＝2， |b|＝（－1）＋0＋2＝5，
2
2
2
222
a·b－110
∴cos〈a，b〉＝＝＝－，
|a|·|b|1010
故向量a与向量b的夹角的余弦值为－
10
. 10
10.如图，在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，
BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角
坐标系O－xyz.
(1)写出点E，F的坐标； (2)求证：A1F⊥C1E；
→1→→
(3)若A1，E，F，C1四点共面，求证：A1F＝A1C1＋A1E.
2(1)解 E(a，x，0)，F(a－x，a，0). (2)证明 ∵A1(a，0，a)，C1(0，a，a)， →→
∴A1F＝(－x，a，－a)，C1E＝(a，x－a，－a)， →→2
∴A1F·C1E＝－ax＋a(x－a)＋a＝0， →→∴A1F⊥C1E， ∴A1F⊥C1E.
(3)证明 ∵A1，E，F，C1四点共面， →→→
∴A1E，A1C1，A1F共面.
→→→→选A1E与A1C1为在平面A1C1E上的一组基向量，则存在唯一实数对(λ1，λ2)，使A1F＝λ1A1C1＋
λ2A1E，
即(－x，a，－a)＝λ1(－a，a，0)＋λ2(0，x，－a) ＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)， －x＝－aλ1，??1
∴?a＝aλ1＋xλ2，解得λ1＝，λ2＝1.
2
??－a＝－aλ2，→1→→于是A1F＝A1C1＋A1E.
2
12
→