发布时间 : 星期四 文章高考数学难点《函数中的综合问题》更新完毕开始阅读a6bfb846f7ec4afe04a1df80
［学法指导］怎样学好函数
学习函数要重点解决好四个问题：准确深刻地理解函数的有关概念；揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系；把握数形结合的特征和方法；认识函数思想的实质，强化应用意识.
(一)准确、深刻理解函数的有关概念 概念是数学的基础，而函数是数学中最主要的概念之一，函数概念贯穿在中学代数的始终.数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等是以函数为中心的代数.近十年来，高考试题中始终贯穿着函数及其性质这条主线.
(二)揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系.函数是研究变量及相互联系的数学概念，是变量数学的基础，利用函数观点可以从较高的角度处理式、方程、不等式、数列、曲线与方程等内容.在利用函数和方程的思想进行思维中，动与静、变量与常量如此生动的辩证统一，函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式.
所谓函数观点，实质是将问题放到动态背景上去加以考虑.高考试题涉及5个方面：(1)原始意义上的函数问题；(2)方程、不等式作为函数性质解决；(3)数列作为特殊的函数成为高考热点；(4)辅助函数法；(5)集合与映射，作为基本语言和工具出现在试题中.
(三)把握数形结合的特征和方法
函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，有效地揭示了各类函数和定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性，体现了数形结合的特征与方法，为此，既要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形，又要熟练地掌握函数图象的平移变换、对称变换.
(四)认识函数思想的实质，强化应用意识
函数思想的实质就是用联系与变化的观点提出数学对象，抽象数量特征，建立函数关系，求得问题的解决.纵观近几年高考题，考查函数思想方法尤其是应用题力度加大，因此一定要认识函数思想实质，强化应用意识.
参考答案
难点磁场
(1）证明：令x=y=0,得f(0)=0
令y=－x,得f(0)=f(x)+f(－x),即f(－x)=－f(x) ∴f(x)是奇函数 (2）解：1°,任取实数x1、x2∈［－9,9］且x1＜x2,这时，x2－x1>0,f(x1)－f(x2)=f［(x1－x2)+x2］－f(x2)=f(x1－x2)+f(x2)－f(x1)=－f(x2－x1) 因为x>0时f(x)＜0,∴f(x1)－f(x2)>0
∴f(x)在［－9，9］上是减函数
故f(x)的最大值为f(－9),最小值为f(9).
而f(9)=f(3+3+3)=3f(3)=－12,f(－9)=－f(9)=12.
∴f(x)在区间［－9，9］上的最大值为12，最小值为－12. 歼灭难点训练
一、1.解析：分类讨论当a>1时和当0＜a＜1时. 答案：C
2.解析：用特值法，根据题意，可设f(x)=x,g(x)=|x|,又设a=2,b=1, 则f(a)=a,g(a)=|a|,f(b)=b,g(b)=|b|,f(a)－f(b)=f(2)－f(－1)=2+1=3.
g(b)－g(－a)=g(1)－g(－2)=1－2=－1.∴f(a)－f(－b)>g(1)－g(－2)=1－2=－1. 又f(b)－f(－a)=f(1)－f(－2)=1+2=3.
g(a)－g(－b)=g(2)－g(1)=2－1=1,∴f(b)－f(－a)=g(a)－g(－b).
即①与③成立.
答案：C
二、3.解析：设2x=t>0，则原方程可变为t2+at+a+1=0
???a2?4(a?1)?0?方程①有两个正实根，则?t1?t2??a?0
?t?t?a?1?0?12 ①
解得：a∈(－1,2－22]. 答案：(－1，2－22]
三、4.解：(1)当a=0时，函数f(－x)=(－x)+|－x|+1=f(x),此时f(x)为偶函数；当a≠0时，f(a)=a+1,f(－a)=a+2|a|+1,f(－a)≠f(a),f(－a)≠－f(a).此时函数f(x)既不是奇函数也不是偶 函数.
(2)①当x≤a时，函数f(x)=x2－x+a+1=(x－
122
2
2
)2+a+
3434,若a≤
2
1212,则函数f(x)在(－∞,a]上
单调递减，从而，函数f(x)在(－∞,a]上的最小值为f(a)=a+1.
若a>
12,则函数f(x)在(－∞,a]上的最小值为f(
2
12)=
34+a,且f()≤f(a).
时，则函数f(x)在［a,+∞
②当x≥a时，函数f(x)=x+x－a+1=(x+
)上的最小值为f(－
121212)－a+
2
;当a≤－
1212)=
34－a,且f(－
12)≤f(a).若a>－,则函数f(x)在［a,+∞)上单调递
增，从而，函数f(x)在［a,+∞］上的最小值为f(a)=a2+1.
综上，当a≤－是a2+1;当a>
12时，函数f(x)的最小值是－a,当－
434312＜a≤
12时，函数f(x)的最小值
时，函数f(x)的最小值是a+.
?1?x?0?5.(1)证明：由?1?x 得f(x)的定义域为(－1，1)，易判断f(x)在(－1，1)内是减函数.
?x?2?0?(2)证明：∵f(0)=另一个解x0≠有惟一解.
(3)解：f［x(x－
121212,∴f-－1(
12)=0,即x=
12是方程f-－1(x)=0的一个解.若方程f-－1(x)=0还有
12,则f-－1(x0)=0,由反函数的定义知f(0)=x0≠,与已知矛盾，故方程f-－1(x)=0
)］＜
12,即f［x(x－
12)］＜f(0).
1??1?x(x?)?1?1?1511?15?2????x?0或?x?.
1424?x(x?)?0?2?6.证明：对f(x)+f(y)=f(
x?y1?xy)中的x,y,令x=y=0,得f(0)=0,再令y=－x,又得f(x)+f(－
x)=f(0)=0,即f(－x)=－f(x),∴f(x)在x∈(－1,1)上是奇函数.设－1＜x1＜x2＜0,则f(x1)－f(x2)=f(x1)+f(－x2)=f(
x1?x21?x1x2),∵－1＜x1＜x2＜0,∴x1－x2＜0,1－x1x2>0.∴
x1?x21?x1x2＜0,于是由②知
f(
x1?x21?x1x2)>0,从而f(x1)－f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),故f(x)在x∈(－1,0)上是单调递减函数.根据奇
函数的图象关于原点对称，知f(x)在x∈(0,1)上仍是递减函数，且f(x)＜0.
1?f(1n?3n?112)?f[1(n?1)(n?2)?1]?f[(n?1)(n?2)1?1(n?1)(n?2)]11?f(n?1n?2)?f()?f()11n?1n?21??n?1n?2?f()?f()???f(2)511n?3n?111111111?[f()?f()]?[f()?f()]???[f()?f()]?f()?f(),2334n?1n?22n?2?0?1n?2?1时,有f(1n?2)?0,.111?1
111?f()?f()?f(),故原结论成立2n?227.解：(1)因污水处理水池的长为x米，则宽为×2+80×200=800(x+
324x200x米，总造价y=400(2x+2×
200x)+248×
200x)+1600,由题设条件
?0?x?16,? 解得12.5≤x≤16,即函数定义域为［12.5，16］. ?2000??16?x?(2)先研究函数y=f(x)=800(x+
324x)+16000在［12.5,16］上的单调性，对于任意的x1,x2
1x21x1324x1x2∈［12.5,16］,不妨设x1＜x2,则f(x2)－f(x1)=800［(x2－x1)+324(
?)］=800(x2－x1)(1－),
∵12.5≤x1≤x2≤16.∴0＜x1x2＜162＜324,∴
324x1x2>1,即1－
324x1x2＜0.又x2－x1>0,∴f(x2)－f(x1)
＜0,即f(x2)＜f(x1),故函数y=f(x)在［12.5,16］上是减函数.∴当x=16时，y取得最小值，此时，
ymin=800(16+
32416)+16000=45000(元)，
200x?20016=12.5(米）
综上，当污水处理池的长为16米，宽为12.5米时，总造价最低，最低为45000元. 8.解：∵f(x)是奇函数，且在(0,+∞)上是增函数，∴f(x)在(－∞,0)上也是增函数. 又f(1)=0,∴f(－1)=－f(1)=0,从而，当f(x)＜0时，有x＜－1或0＜x＜1, 则集合N={m|f［g(θ)］＜θ＝}={m|g(θ)＜－1或0＜g(θ)＜1}, ∴M∩N={m|g(θ)＜－1}.由g(θ)＜－1,得cosθ>m(cosθ－2)+2,θ∈［0,
2
2
2
?2］,令x=cos
θ,x∈［0,1］得：x>m(x－2)+2,x∈［0,1］，令①：y1=x,x∈［0,1］及②y2=m(m－2)+2,显然①为抛物线一段，②是过(2，2)点的直线系，在同一坐标系内由x∈［0,1］得y1>y2.∴m>4－22,故M∩N={m|m>4－22}.