发布时间 : 星期六 文章数列求通项与求和常用方法归纳针对性练习题更新完毕开始阅读a6e782c586868762caaedd3383c4bb4cf7ecb7bd
数列通项与求和常见方法归纳
一、知能要点
1、求通项公式的方法：
(1)观察法：找项与项数的关系，然后猜想检验，即得通项公式an；
??S1
(2)利用前n项和与通项的关系an＝?
?Sn－Sn－1?
n＝1，n≥2；
(3)公式法：利用等差(比)数列求通项公式；
an＋1
(4)累加法：如an＋1－an＝f(n)， 累积法，如＝f(n)；
an(5)转化法：an＋1＝Aan＋B(A≠0，且A≠1)．
2、求和常用的方法：
(1)公式法： ①Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d 22?na1(q?1)?n②Sn??a1(1?q)
(q?1)??1?q(2)裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数差，即，然后累加时抵消中间的许多项. 应掌握以下常见的裂项： ①
111??
n(n?1)nn?1②
1111?(?)
n(n?k)knn?k11111??(?);k2k2?12k?1k?11111111???2??? kk?1(k?1)kk(k?1)kk?1k③
④
1111?[?]
n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)2n?n?1?1n?2n?n?1?2(n?n?1)
⑤2(n?1?n)?(3)错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法(这也是等比数列前n项和公式的推导方法) .
(4)倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这是等差数列前n项和公式的推导方法) .
(5)分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.
二、知能运用典型例题
考点1：求数列的通项
[题型1] an?1?an?f(n)
解法：把原递推公式转化为an?1?an?f(n)，利用累加法(逐差相加法)求解。 【例1】已知数列?an?满足a1?解：由条件知：an?1?an?分
别
令
11，an?1?an?2，求an。 2n?n1111??? 2n?nn(n?1)nn?1，
代
入
上
式
得
n?1,2,3,??????,(n?1)(n?1)个等式累加之，即
(a2?a1)?(a3?a2)?(a4?a3)????????(an?an?1)
1111111?(1?)?(?)?(?)????????(?)
22334n?1n所以an?a1?1?1 n?a1?11131，?an??1??? 22n2n[题型2] an?1?f(n)an 解法：把原递推公式转化为
an?1?f(n)，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 an【例2】已知数列?an?满足a1?解：由条件知
2n，an?1?an，求an。 3n?1an?1n?，分别令n?1,2,3,??????,(n?1)，代入上式得(n?1)个等式累乘之，即 ann?1aaa2a3a4122123n?1?n? 又?a1?， ?an???????????n???????????
a1na1a2a3an?123433nn[题型3] an?1?pan?q(其中p，q均为常数，且pq(p?1)?0)。 解法(待定系数法)：转化为：an?1?t?p(an?t)，其中t?q，再利用换元法转化为等比数列求解。 1?p【例3】已知数列?an?中，a1?1，an?1?2an?3，求an。
解：设递推公式an?1?2an?3可以转化为an?1?t?2(an?t)即an?1?2an?t?t??3.故递推公式为
an?1?3?2(an?3),令bn?an?3，则b1?a1?3?4,且
n?1n?1n?1比的等比数列，则bn?4?2?2,所以an?2?3.
bn?1an?1?3??2.所以?bn?是以b1?4为首项，2为公bnan?3n[题型4] an?1?pan?q(其中p，q均为常数，且pq(p?1)(q?1)?0)。 n (或an?1?pan?rq,其中p，q, r均为常数)。
解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以qn?1，得：
an?1pan1an??b???b?引入辅助数列(其中)， nnqn?1qqnqqn得：bn?1?p1bn?再待定系数法解决。 qq【例4】已知数列?an?中，a1?解：在an?1?511n?1,an?1?an?()，求an。 632112an?()n?1两边乘以2n?1得：2n?1?an?1?(2n?an)?1 32322bn?1,解之得：bn?3?2()n 33n令bn?2?an，则bn?1?所以an?bn1n1n?3()?2()
232n[题型5] 递推公式为Sn与an的关系式。(或Sn?f(an)) 解法：这种类型一般利用an???S1????????????????(n?1)与an?Sn?Sn?1?f(an)?f(an?1)消去Sn (n?2)
?Sn?Sn?1???????(n?2)或与Sn?f(Sn?Sn?1)(n?2)消去an进行求解。 【例5】已知数列?an?前n项和Sn?4?an? (1)求an?1与an的关系； (2)求通项公式an. 解：(1)由Sn?4?an?12n?2.
12n?2得：Sn?1?4?an?1?12n?1
于是Sn?1?Sn?(an?an?1)?(所以an?1?an?an?1?12n?2?12n?1)
111. ?a?a?n?1nn?1n222nn?1 (2)应用题型4(an?1?pan?q，其中p，q均为常数，且pq(p?1)(q?1)?0)的方法，上式两边同乘以2得： n?1n 2an?1?2an?2
由a1?S1?4?a1?1n?2an?是以2为首项，2为公差的等差数列，所以.于是数列?a?111?22n2n?1
2nan?2?2(n?1)?2n?an?
r[题型6] an?1?pan(p?0,an?0)
解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为an?1?pan?q，再利用待定系数法求解。 【例6】已知数列{an}中，a1?1,an?1?解：由an?1?12?an(a?0)，求数列{an}的通项公式。 a121?an两边取对数得lgan?1?2lgan?lg， aa112n?1，再利用待定系数法解得：an?a()。 aa令bn?lgan，则bn?1?2bn?lg考点2：数列求和 [题型1] 公式法
【例7】已知?an?是公差为3的等差数列，数列?bn?满足b1?1,b2? (1)求?an?的通项公式； (2)求?bn?的前n项和.
解：(1)依题a1b2+b2=b1，b1=1，b2=
1,anbn?1?bn?1?nbn. 31，解得a1=2 …2分 3通项公式为 an=2+3(n-1)=3n-1 …6分
11bn，所以{bn}是公比为的等比数列 …9分 3311?()n3?3?1 …12分 所以{bn}的前n项和Sn=n?1122?31?3(2)由(Ⅰ)知3nbn+1=nbn，bn+1=[题型2] 裂项求和
【例8】Sn为数列{an}的前n项和.已知an＞0，an?2an?4Sn?3. (1)求{an}的通项公式； (2)设bn?
解析：(1)an=2n?1； (2)由(1)知，bn=
21 ,求数列{bn}的前n项和. anan?11111?(?)，
(2n?1)(2n?3)22n?12n?311123515171111. ?)] =?2n?12n?364n?6 所以数列{bn}前n项和为b1?b2?L?bn=[(?)?(?)?L?(
[题型3] 错位相减求和
【例9】已知数列{an}和{bn}满足，a1?2,b1?1,an?1?2an(n?N),
* b1?111b2?b3?L?bn?bn?1?1(n?N*). 23n(1)求an与bn；
(2)记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn. 解析：(1)由a1?2,an?1?2an，得an?2. 当n?1时，b1?b2?1，故b2?2. 当n?2时，
nb1n?1，所以bn?n. bn?bn?1?bn，整理得n?1?nbnn