发布时间 : 星期六 文章2019年全国各地中考数学真题试卷解析分类汇编：二次函数解答题（word版） - 图文更新完毕开始阅读a71919d9a7c30c22590102020740be1e650ecc8e
∴2n﹣2n﹣1＝0． 解得 n1＝
（舍去），n2＝
2
2
．
同理，由②得到：（m﹣1）（2m﹣2m﹣1）＝0． ∵1≤m＜n， ∴2m﹣2m﹣1＝0． 解得 m1＝1，m2＝
（舍去），m3＝
（舍去）．综上所述，m＝1，n＝
．
2
【点评】主要考查了二次函数综合题，解答该题时，需要熟悉二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象的对称性，二次函数图象的增减性，二次函数最值的意义以及一元二次方程的解法．该题计算量比较大，需要细心解答．难度较大．
6.（2019?湖南怀化?14 分）如图，在直角坐标系中有 Rt△AOB，O 为坐标原点，OB＝1，tan ∠ABO＝3，将此三角形绕原点O 顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y＝﹣x+bx+c 的图象刚好经过 A，B，C 三点．
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（1） 求二次函数的解析式及顶点 P 的坐标；
（2） 过定点 Q 的直线 l：y＝kx﹣k+3 与二次函数图象相交于 M，N 两点．
①若 S△PMN＝2，求 k 的值；
②证明：无论 k 为何值，△PMN 恒为直角三角形；
③当直线 l 绕着定点 Q 旋转时，△PMN 外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛
物线的表达式．
【分析】（1）求出点 A.B.C 的坐标分别为（0，3）、（﹣1，0）、（3，0），即可求解；
（2）①S△PMN＝ PQ×（x2﹣x1），则 x2﹣x1＝4，即可求解；②k1k2＝＝
＝﹣1，即可求解；③取 MN 的中点 H，则点 H 是△PMN 外接
圆圆心，即可求解． 【解答】解：（1）OB＝1，tan∠ABO＝3，则 OA＝3，OC＝3，即点 A.B.C 的坐标分别为（0，3）、（﹣1，0）、（3，0）， 则二次函数表达式为：y＝a（x﹣3）（x+1）＝a（x﹣2x﹣3）， 即：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，
故函数表达式为：y＝﹣x+2x+3， 点 P（1，4）；
（2）将二次函数与直线 l 的表达式联立并整理得： x﹣（2﹣k）x﹣k＝0， 设点 M、N 的坐标为（x1，y1）、（x2，y2），则 x1+x2＝2﹣k，x1x2＝﹣k，
则：y1+y2＝k（x1+x2）﹣2k+6＝6﹣k，
同理：y1y2＝9﹣4k， ①y＝kx﹣k+3，当 x＝1 时，y＝3，即点 Q（1，3），
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2
S△PMN＝2＝PQ×（x2﹣x1），则 x2﹣x1＝4， |x2﹣x1|＝
，
解得：k＝±2 ； ②点 M、N 的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）、点 P（1，4），
则直线 PM 表达式中的 k1 值为：
，直线 PN 表达式中的 k2 值为：
，
为：k1k2＝
＝
＝﹣1，
故 PM⊥PN，
即：△PMN 恒为直角三角形；
③取 MN 的中点 H，则点 H 是△PMN 外接圆圆心，
设点 H 坐标为（x，y），则 x＝
＝1﹣ k，
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y＝（y1+y2）＝（6﹣k），整理得：y＝﹣2x+4x+1，
即：该抛物线的表达式为：y＝﹣2x+4x+1．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、圆的基本知识等，其中，用韦达定理处理复杂数据，是本题解题的关键．
7. （2019?甘肃武威?12 分）如图，抛物线 y＝ax+bx+4 交 x 轴于 A（﹣3，0），B（4，0）两点，与 y 轴交于点 C，连接 AC，BC．点 P 是第一象限内抛物线上的一个动点，点 P 的横坐标为 m．
（1） 求此抛物线的表达式；
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（2） 过点 P 作 PM⊥x 轴，垂足为点 M，PM 交 BC 于点 Q．试探究点 P 在运动过程中，
是否存在这样的点 Q，使得以 A，C，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由；
（3） 过点 P 作 PN⊥BC，垂足为点 N．请用含 m 的代数式表示线段 PN 的长，并求出当
m 为何值时 PN 有最大值，最大值是多少？
【分析】（1）由二次函数交点式表达式，即可求解；
（2） 分 AC＝AQ、AC＝CQ、CQ＝AQ 三种情况，分别求解即可； （3） 由 PN＝PQsin∠PQN＝
（﹣ m+ m+4+m﹣4）即可求解．
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【解答】解：（1）由二次函数交点式表达式得：y＝a（x+3）（x﹣4）＝a（x﹣x﹣12）， 即：﹣12a＝4，解得：a＝﹣ ， 则抛物线的表达式为 y＝﹣x+ x+4； （2）存在，理由：
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点 A.B.C 的坐标分别为（﹣3，0）、（4，0）、（0，4）， 则 AC＝5，AB＝7，BC＝4，∠OAB＝∠OBA＝45°，
将点 B.C 的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b 并解得：y＝﹣x+4…①， 同理可得直线 AC 的表达式为：y＝x+4，
设直线 AC 的中点为 M（﹣，4），过点 M 与 CA 垂直直线的表达式中的 k 值为﹣，同理可得过点 M 与直线 AC 垂直直线的表达式为：y＝﹣x+ …②， ①当 AC＝AQ 时，如图 1，
则 AC＝AQ＝5，
设：QM＝MB＝n，则 AM＝7﹣n，
由勾股定理得：（7﹣n）+n＝25，解得：n＝3 或 4（舍去 4），故点 Q（1，3）；
②当 AC＝CQ 时，如图 1， CQ＝5，则 BQ＝BC﹣CQ＝4﹣5， 则 QM＝MB＝ 故点 Q（
，
， ）； （舍去）；
，
）；
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③当 CQ＝AQ 时， 联立①②并解得：x＝
故点 Q 的坐标为：Q（1，3）或（
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（3）设点 P（m，﹣m+m+4），则点 Q（m，﹣m+4）， ∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB＝45°＝∠PQN， PN＝PQsin∠PQN＝ ∵﹣
（﹣ m+ m+4+m﹣4）＝﹣
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m+ m，
＜0，∴PN 有最大值，
．
当 m＝时，PN 的最大值为：
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
8. （2019?湖北十堰?10 分）某超市拟于中秋节前 50 天里销售某品牌月饼，其进价为 18 元 /kg．设第 x 天的销售价格为 y（元/kg），销售量为 m（kg）．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当 1≤x≤30 时，y＝40；当 31≤x≤50 时，y 与 x 满足一次函数关系，且当 x＝36 时，y＝37；x＝44 时，y＝33．②m 与 x 的关系为 m＝5x+50． （1）当 31≤x≤50 时，y 与 x 的关系式为 ；
（2）x 为多少时，当天的销售利润 W（元）最大？最大利润为多少？
（3）若超市希望第 31 天到第 35 天的日销售利润 W（元）随 x 的增大而增大，则需要在当天销售价格的基础上涨 a 元/kg，求 a 的最小值．
【分析】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题．
（1） 依据题意利用待定系数法，易得出当 31≤x≤50 时，y 与 x 的关系式为：y＝
x+55，
（2） 根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出每天的销售利润 w（元）与销售价 x
（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．
（3） 要使第 31 天到第 35 天的日销售利润 W（元）随 x 的增大而增大，则对称轴＝
≥35，求得 a 即可
【解答】解：
（1）依题意，当 x＝36 时，y＝37；x＝44 时，y＝33， 当 31≤x≤50 时，设 y＝kx+b， 则有
∴y 与 x 的关系式为：y＝
（2） 依题意，
，解得
x+55
∵W＝（y﹣18）?m ∴
整理得， 当 1≤x≤30 时，
∵W 随 x 增大而增大
∴x＝30 时，取最大值 W＝30×110+1100＝4400
当 31≤x≤50 时， W＝ ∵
x+160x+1850＝ ＜0
2
∴x＝32 时，W 取得最大值，此时 W＝4410
综上所述，x 为 32 时，当天的销售利润 W（元）最大，最大利润为 4410 元
（3） 依题意，
W＝（y+a﹣18）?m＝
∵第 31 天到第 35 天的日销售利润 W（元）随 x 的增大而增大 ∴对称轴 x＝
＝
≥35，得 a≥3
故 a 的最小值为 3．