发布时间 : 星期三 文章2016中考数学压轴题汇编及答案更新完毕开始阅读a76c0dee9f3143323968011ca300a6c30c22f164
18．（2015?苏州）如图，已知二次函数y=x+（1﹣m）x﹣m（其中0＜m＜1）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．设P为对称轴l上的点，连接PA、PC，PA=PC （1）∠ABC的度数为 45° ；（2）求P点坐标（用含m的代数式表示）； （3）在坐标轴上是否存在着点Q（与原点O不重合），使得以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，且线段PQ的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题． 【分析】（1）首先求出B点坐标，进而得出OB=OC=m，再利用等腰直角三角形的性质求出即可；
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（2）作PD⊥y轴，垂足为D，设l与x轴交于点E，利用勾股定理AE+PE=CD+PD，得出P点坐标即可； （3）根据题意得出△QBC是等腰直角三角形，可得满足条件的点Q的坐标为：（﹣m，0）或（0，m），进而分别分析求出符合题意的答案． 【解答】解：（1）令x=0，则y=﹣m，C点坐标为：（0，﹣m），
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令y=0，则x+（1﹣m）x﹣m=0，解得：x1=﹣1，x2=m， ∵0＜m＜1，点A在点B的左侧，∴B点坐标为：（m，0）， ∴OB=OC=m，∵∠BOC=90°，
∴△BOC是等腰直角三角形，∠ABC=45°；故答案为：45°； （2）如图1，作PD⊥y轴，垂足为D，设l与x轴交于点E，
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由题意得，抛物线的对称轴为：x=
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，设点P坐标为：（
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，n），
∵PA=PC，∴PA=PC，即AE+PE=CD+PD， ∴（
+1）+n=（n+m）+（
，
）；
，
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），解得：n=
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，
∴P点的坐标为：（
（3）存在点Q满足题意，∵P点的坐标为：（∴PA+PC=AE+PE+CD+PD=（
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）， ）+（
+m）+（
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+1）+（）=1+m，
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∵AC=1+m，∴PA+PC=AC，∴∠APC=90°，∴△PAC是等腰直角三角形，
∵以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，∴△QBC是等腰直角三角形， ∴由题意可得满足条件的点Q的坐标为：（﹣m，0）或（0，m）， ①如图1，当Q点坐标为：（﹣m，0）时，若PQ与x轴垂直， 则
=﹣m，解得：m=，PQ=，
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若PQ与x轴不垂直，则PQ=PE+EQ=（
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）+（
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+m）
2
=m﹣2m+=（m﹣）+
2
∵0＜m＜1，∴当m=时，PQ取得最小值∵
，PQ取得最小值，
＜，∴当m=，即Q点的坐标为：（﹣，0）时，PQ的长度最小，
=m，解得：m=，PQ=，
2
2
2
②如图2，当Q点的坐标为：（0，m）时，若PQ与y轴垂直，则若PQ与y轴不垂直，则PQ=PD+DQ=（∵0＜m＜1，∴当m=时，PQ取得最小值∵
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2
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）+（m﹣，PQ取得最小值
2
）=m﹣2m+=（m﹣）+，
，
＜，∴当m=，即Q点的坐标为：（0，）时，PQ的长度最小，
综上所述：当Q点坐标为：（﹣，0）或（0，）时，PQ的长度最小． 【点评】此题主要考查了二次函数综合以及勾股定理和二次函数最值 求法等知识，利用分类讨论得出Q点坐标是解题关键．
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19．（2015?临沂）在平面直角坐标系中，O为原点，直线y=﹣2x﹣1与y轴交于点A，与直线y=﹣x交于点B，点B关于原点的对称点为点C．（1）求过A，B，C三点的抛物线的解析式； （2）P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q． ①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标； ②若点P的横坐标为t（﹣1＜t＜1），当t为何值时，四边形PBQC面积最大？并说明理由． 【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题． 【分析】（1）联立两直线解析式可求得B点坐标，由关于原点对称可求得C点坐标，由直线y=﹣2x﹣1可求得A点坐标，再利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）①当四边形PBQC为菱形时，可知PQ⊥BC，则可求得直线PQ的解析式，联立抛物线解析式可求得P点坐标；②过P作PD⊥BC，垂足为D，作x轴的垂线，交直线BC于点E，由∠PED=∠AOC，可知当PE最大时，PD也最大，用t可表示出PE的长，可求得取最大值时的t的值． 【解答】解：
（1）联立两直线解析式可得，解得，
∴B点坐标为（﹣1，1），又C点为B点关于原点的对称点， ∴C点坐标为（1，﹣1），∵直线y=﹣2x﹣1与y轴交于点A，
2
∴A点坐标为（0，﹣1），设抛物线解析式为y=ax+bx+c， 把A、B、C三点坐标代入可得
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，解得，
∴抛物线解析式为y=x﹣x﹣1；
（2）①当四边形PBQC为菱形时，则PQ⊥BC，
∵直线BC解析式为y=﹣x，∴直线PQ解析式为y=x， 联立抛物线解析式可得
，解得
或
，
∴P点坐标为（1﹣，1﹣）或（1+，1+）； ②当t=0时，四边形PBQC的面积最大．理由如下：
如图，过P作PD⊥BC，垂足为D，作x轴的垂线，交直线BC于点E， 则S四边形PBQC=2S△PBC=2×BC?PD=BC?PD，
∵线段BC长固定不变，
∴当PD最大时，四边形PBQC面积最大， 又∠PED=∠AOC（固定不变）， ∴当PE最大时，PD也最大，
∵P点在抛物线上，E点在直线BC上，
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∴P点坐标为（t，t﹣t﹣1），E点坐标为（t，﹣t），
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∴PE=﹣t﹣（t﹣t﹣1）=﹣t+1，
∴当t=0时，PE有最大值1，此时PD有最大值，即四边形PBQC的面积最大．
【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、点的对称、菱形的判定和性质、三角形的面积和二次函数的最值等知识点．在（1）中求得A、B、C三点的坐标是解题的关键，在（2）①中得出直线PQ的解析式是解题的关键，在②中确定出四边形PBQC面积最大的条件是解题的关键．本题涉及知识点较多，综合性较强，其中第（2）②小题是难点．
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20．（2015?巴中）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax+bx﹣4（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、C（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．（1）求该二次函数的解析式；
（2）如图1，连结BC，在线段BC上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB，PD，BD，求△BDP面积的最大值及此时点P的坐标．
【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题． 【分析】（1）采用待定系数法求得二次函数的解析式；
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（2）先求得直线BC的解析式为y=x﹣4，则可设E（m，m﹣4），然后分三种情况讨论即可求得； （3）利用△PBD的面积S=S梯形﹣S△BOD﹣S△PFD即可求得．
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【解答】解：（1）∵二次函数y=ax+bx﹣4（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、C（8，0）两点， ∴
，解得
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，
∴该二次函数的解析式为y=x﹣x﹣4； （2）由二次函数y=x﹣x﹣4可知对称轴x=3，
∴D（3，0），∵C（8，0），∴CD=5，由二次函数y=x﹣x﹣4可知B（0，﹣4），
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设直线BC的解析式为y=kx+b，∴
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，解得
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，∴直线BC的解析式为y=x﹣4，
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设E（m，m﹣4），当DC=CE时，EC=（m﹣8）+（m﹣4）=CD， 即（m﹣8）+（m﹣4）=5，解得m1=8﹣2
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，m2=8+2
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（舍去），∴E（8﹣2
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，﹣）；
当DC=DE时，ED=（m﹣3）+（m﹣4）=CD，即（m﹣3）+（m﹣4）=5，解得m3=0，m4=8（舍去）， ∴E（0，﹣4）；当EC=DE时，（m﹣8）+（m﹣4）=（m﹣3）+（m﹣4）解得m5=5.5， ∴E（
，﹣）．综上，存在点E，使得△CDE为等腰三角形，所有符合条件的
，﹣
）、（0，﹣4）、（
，﹣）．
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点E的坐标为（8﹣2
（3）过点P作y轴的平行线交x轴于点F，∵P点的横坐标为m，∴P点的纵坐标为m﹣m﹣4，
∵△PBD的面积S=S梯形﹣S△BOD﹣S△PFD=m[4﹣（m﹣m﹣4）]﹣（m﹣3）[﹣（m﹣m﹣4）]﹣×3×4 =﹣m+∴当m=
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m=﹣（m﹣）+
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，
时，△PBD的最大面积为
，﹣
）．
∴点P的坐标为（
【点评】此题考查了学生的综合应用能力，要注意数形结合，认真分析，仔细识图．注意待定系数法求函数的解析式，注意函数交点坐标的求法，注意三角形面积的求法．
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21．（2015?黔东南州）如图，已知二次函数y1=﹣x+
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x+c的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴的交
点为B，过A、B的直线为y2=kx+b．
（1）求二次函数y1的解析式及点B的坐标；
（2）由图象写出满足y1＜y2的自变量x的取值范围；
（3）在两坐标轴上是否存在点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由．
【考点】二次函数综合题． 【专题】压轴题． 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量为零，可得B点坐标； （2）根据一次函数图象在上方的部分是不等式的解集，可得答案；
（3）根据线段垂直平分线上的点到线段两点间的距离相等，可得P在线段的垂直平分线上，根据直线AB，可得AB的垂直平分线，根据自变量为零，可得P在y轴上，根据函数值为零，可得P在x轴上． 【解答】解：（1）将A点坐标代入y1，得 ﹣16+13+c=0． 解得c=3，
二次函数y1的解析式为y=﹣x+
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x+3，
B点坐标为（0，3）；
（2）由图象得直线在抛物线上方的部分，是x＜0或x＞4， ∴x＜0或x＞4时，y1＜y2；
（3）直线AB的解析式为y=﹣x+3， AB的中点为（2，） AB的垂直平分线为y=x﹣ 当x=0时，y=﹣，P1（0，﹣）， 当y=0时，x=，P2（，0），
综上所述：P1（0，﹣），P2（，0），使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形．
【点评】本题考察了二次函数综合题，（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）利用函数与不等式的关系求不等式的解集；（3）利用线段垂直平分线的性质，利用直线AB得出AB的垂直平分线是解题关键．
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