发布时间 : 星期三 文章高考数学热点难点突破技巧第07讲导数中的双变量存在性和任意性问题(含答案)更新完毕开始阅读a782b00aff4733687e21af45b307e87101f6f8b3
【例2】已知函数f?x??lnx．若不等式mf?x??a?x对所有m??0,1?，x??,e2?都成立，求实数a的取值范围．
【解析】则a?mlnx?x对所有的m??0,1?，x??,e2?都成立， 令H?x??lnxm?x，m??0,1?，x??,e2?是关于m的一次函数，
?1?e???1?e???1?e??因为x??,e2?，所以?1?lnx?2
?1?e??
【点评】（1）存在性问题和任意性问题都是最值关系问题，关键是是什么样的最值关系，所以务必理解清楚,不能含糊.(2)对于存在性问题和任意性问题的理解可以数形结合理解（见前面的知识要点），也可以这样记忆，双任意性问题，两边的最值相反.【反馈检测2】已知函数（Ⅰ）讨论
的单调性；
，任意
，总有
，求的取值范围.
，
，，
.
（Ⅱ）对于任意题型三 使用情景 存在任意性 不等式的两个自变量一个属性是存在性的，一个是任意性的. “存在x1?(a,b)，对任意的x2?(c,d)，使得f(x1)?g(x2)成立”称为不等解题理论 式的存在任意性问题. 存在x1?(a,b)，对任意的x2?(c,d)，使得f(x1)?g(x2)成立，即f(x)在区间(a,b)内至少有一个值f(x)比函数g(x)
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在区间(c,d)内的任意一个函数值都要小，即f(x)min?g(x)min. “存在x1?(a,b)，对任意的x2?(c,d)，使得f(x1)?g(x2)成立”，即f(x)在区间(a,b)内至少有一个值f(x)比函数g(x)在区间(c,d)内的任意一个函数值都要大，即f(x)max?g(x)max. 【例3】（2010高考山东理数第22题）已知函数f(x)?lnx?ax?(Ⅰ)当a?1?a?1(a?R). x1时，讨论f(x)的单调性； 212（Ⅱ）设g(x)?x?2bx?4.当a?时，若对任意x1?(0,2)，存在x2??1,2?，使
4f(x1)?g(x2)，求实数b取值范围.
（1）当a?0时，h(x)??x?1(x?0)，当x?(0,1),h(x)?0,f?(x)?0,函数f(x)单调递减；当x?(1,??),h(x)?0,f?(x)?0，函数f(x)单调递增. (2)当a?0时，由f?(x)?0，即ax2?x?1?a?0，解得x1?1,x2?当a?1?1. a1时x1?x2，h(x)?0恒成立，此时f?(x)?0，函数f(x)单调递减； 211当0?a?时，?1?1?0，x?(0,1)时h(x)?0,f?(x)?0，函数f(x)单调递减；
2a1x?(1,?1)时，h(x)?0,f?(x)?0，函数f(x)单调递增；
a1x?(?1,??)时，h(x)?0,f?(x)?0，函数f(x)单调递减.
a1当a?0时?1?0，当x?(0,1),h(x)?0,f?(x)?0,函数f(x)单调递减；
a当x?(1,??),h(x)?0,f?(x)?0，函数f(x)单调递增.
综上所述：当a?0时，函数f(x)在(0,1)单调递减，(1,??)单调递增； 当a?1时x1?x2，h(x)?0恒成立，此时f?(x)?0，函数f(x)在(0,??)单调递减； 2 6
111时，f(x)在(0,1)单调递减，(1,?1)单调递增，(?1,??)单调递减. 2aa1（Ⅱ）当a?时，f(x)在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意x1?(0,2)，
41有f(x)min?f(1)??,
21又已知存在x2??1,2?，使f(x1)?g(x2)，所以??g(x2)，x2??1,2?，（※）
2当0?a?又g(x)?(x?b)?4?b,x?[1,2]
当b?1时，g(x)min?g(1)?5?2b?0与（※）矛盾； 当b??1,2?时，g(x)min?g(1)?4?b2?0也与（※）矛盾； 当b?2时，g(x)min?g(2)?8?4b??综上所述，实数b的取值范围是[22117,b?. 2817,??). 8【点评】（1）存在性问题和任意性问题都是最值关系问题，关键是是什么样的最值关系，所以务必理解清楚,不能含糊.(2)对于存在性问题和任意性问题的理解可以数形结合理解（见前面的知识要点），也可以这样记忆，存在任意性问题，两边的最值相同. 【反馈检测3】已知函数（Ⅰ）当（Ⅱ）已知
时，求函数，函数
成立，求实数的取值范围.
的单调区间；
.若对任意
，都存在
，使得
.
7
高中数学热点难点突破技巧第07讲：
导数中的双变量存在性和任意性问题的处理参考答案
51【反馈检测1答案】（1）[ ，（2） (0 ， ??)； ].
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令f?(x)?0，得x1?1或x2??3?a ∵x?1是极值点，∴?3?a?1，即a??4 当?3?a?1即a??4时，由f?(x)?0得x?(?3?a,??)或x?(??,1) 由f?(x)?0得x?(1,?3?a)
当?3?a?1即a??4时，由f?(x)?0得x?(1,??)或x?(??,?3?a) 由f?(x)?0得x?(?3?a,1)
综上可知：当a??4时，函数f(x)的单调递增区间为(??,1)和(?3?a,??)，单调递减区间为(1,?3?a)；当a??4时，函数f(x)单调递增区间为(??,?3?a)和(1,??)，单调递减区间为(?3?a,1).
（2）由（1）知，当a>0时，f(x)在区间（0，1）上的单调递减，在区间（1，4）上单调递增，∴函数f(x)在区间[0,4]上的最小值为f(1)??(a?2)e 又∵f(0)?be??(2a?3)?0，f(4)?(2a?13)e?0，
∴函数f(x)在区间[0，4]上的值域是[f(1),f(4)]，即[?(a?2)e,(2a?13)e] 又g(x)?(a?14)e2x?44x4在区间[0，4]上是增函数，且它在区间[0，4]上的值域是
[(a2?14)e4,(a2?14)e8]
∵(a?14)e－(2a?13)e＝(a?2a?1)e＝(a?1)e?0， ∴存在?1,?2?[0,4]使得f(?1)?g(?2)?1成立只须仅须
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