发布时间 : 星期二 文章高考综合复习集合与简易逻辑更新完毕开始阅读a7b3172f192e45361066f5a7
（III）注意到BA，考察B=φ的特殊情形：B=φ=4（a+1）－4(a
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－1)<0 a<－1,此时集合B显然满足条件. 于是综合（I）、（II）、（III）得所求a的取值集合为｛a|a=1或a≤－1｝.
（2）集合B中至少有两个元素 ① 而方程x2+2(a+1)x+a2－1=0至多有两个实根 集合B中至多有两个元素 ② ∴由①、②得集合B中只含两个元素 B=A 此时，由(1)知a=1，即所求a的的数值为a=1.
点评：
（1）在这里，对有关事物进行“特殊”和“一般”的“一分为二”的讨论尤为重要：对集合A.B的关系，分别考察特殊（相等）和一般（真包含）情形，引出第一级讨论；对集合B的存在方式，又分别考察特殊（B=φ）和一般（B≠φ）的两种情形，引出第二级讨论.“特殊”（特殊关系或特殊取值）是分类讨论的切入点.
（2）空集φ作为一个特殊集合，既是解题的切入点，又是设置陷阱的幽灵，注意到“一般”与“特殊”相互依存的辩证关系，解题时应适时考察“特殊”，自觉去构建“特殊”与“一般”的辩证统一.
例3．已知A=｛x|x2-4x+3<0,x∈R｝,B=｛x|21-x+a≤0且x2-2(a+7)x+5≤0,x∈R｝若AB，试求实数a的取值范围.
解：A=｛x|1 注意AB，故对任意x∈(1,3),不等式21-x+a≤0与x2－2(a+7)x+5≤0总成立. （1）对任意x∈(1,3)，f(x)=x2－2(a+7)x+5≤0总成立， f(x)=0有两实根，且一根不大于1，而另一根不小于3 ① （2）令g(x)=－21－x, x∈(1,3),则对任意x∈(1,3)，21－x+a≤0总成立. a≤g(x)总成立a≤gmin(x) a≤－1 ② ∴将①.②联立得－4≤a≤－1. ∴所求实数a的取值范围为｛a|－4≤a≤－1｝. 点评与揭示：在某个范围内不等式恒成立的问题，要注意向最值问题的等价转化： （1）当f(x)在给定区间上有最值时 a≤f(x)恒成立a≤fmin(x) a≥f(x)恒成立a≥fmax(x) （2）当f(x)在给定区间上没有最值时 a≤f(x)恒成立a≤f(x)的下确界 a≥f(x)恒成立 a≥f(x)的上确界 例4．已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若条件，求实数m的取值范围. 分析：从认知联系. 解：由已知得 ：x<-2或x>10； 与 q入手，为了化生为熟，将 ， q分别与集合建立是 q的必要而不充分 q：x<1-m或x>1+m(m>0). 令A=｛x|x<-2或x>10｝,B=｛x| x<1-m或x>1+m(m>0)｝, 则由 B A 是 q的必要而不充分条件得 或m9 ∴所求实数m的取值范围为[9，+∞）. 点评：从认知已知条件切入，将四种命题或充要条件问题向集合问题转化，是解决这类问题的又一基本策略. 例5．设有两个命题，p：函数f（x）＝Q:不等式 ＋2ax＋4的图像与x轴没有交点； 恒成立，若“P或Q”为真，“P且Q”为假，则实数a 的取值范围是（ ） A.（－∞，－2] B.[2,＋∞) C.[-2,2] D.(-2,2) 分析： （ⅰ）化简或认知P、Q：函数f（x）＝ △＝ －2＜a＜2 ＋2ax＋4的图像与x轴没有交点， ∴P: －2＜a＜2 ① 又 不等式② ③ ④ ＋ ≥ ＝2 恒成立 a小于 的最小值 ∴由②、③得 a﹤2 即Q: a﹤2 （ⅱ）分析、转化已知条件 “P或Q”为真P、Q中至少有一个为真 a﹤2 “P且Q”为假 或 P、Q中至少有一个为假 为真 a≤－2或a≥2 ⑤ 于是由④⑤得，同时满足上述两个条件的a的取值范围是 a≤－2 ∴实数a的取值范围为（－∞，－2]. 例6. 若p：－2﹤m﹤0，0﹤n﹤1；q：关于x的方程小于1的正根，试分析p是q的什么条件？ 分析：在这里，q是关于x的二次方程的条件，为便于表述，设该方程的两个实根为理进行推理. 解：设 ， 为方程 的两个实根，且 ， ， 且 有两个小于1的正根 .然后根据韦达定 有两个 则该方程的判别式为：△＝ 又由韦达定理得 ∴当0﹤ ﹤1时，由②得 －2﹤m﹤0，0﹤n﹤1 即 qp ③ 另一方面，若在p的条件下取m＝－1，n＝0.75，则这一关于x的二次方程的判别式 △＝ 从而方程 ＝ ＝1－3﹤0， 无实根 ∴p q ④ 于是由③④得知，p是q的必要但不充分的条件. 点评：若令f（x）＝得关于x的二次方程 ，则借助二次函数y＝ 的图像易 有两个小于1的正根的充要条件为 在这里容易产生错误结论为： 方程x2+mx+n=0有两个小于1的正根的充要条件是 想一想：错在哪里？你能举出反例吗？ 注意到这里的p由※式中部分条件构造而成，它关于m、n的限制当然更为宽松. 五.高考真题 1．设I为全集，S1，S2，S3是I的三个非空子集，且S1∪S2∪S3=I，则下面判断正确的是 （ ） A．S1∩（S2∪S3）=φ B. S1 （S2∩S3）