发布时间 : 星期二 文章学科网2011高考全国百所名校月考试题重组数学卷专题五 解析几何（教师版）- 更新完毕开始阅读a7c0995bbe23482fb4da4c1c
【原题】已知椭圆C:xa22?yb22?1(a?b?0)的离心率为
63，焦点到相应准线的距离为
2232
（1）求椭圆C的方程 （2）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点到直线l的距离为面积的最大值。
6a2【解析】（1）?e??,?c?,解得a?a3c22OB，求?Ac23,c?2 ?b?3?2?1,椭圆C的方程为
x23?y?1
2(323)2 （2）当AB?x轴时，?y?1,得y?2234,AB?3，
当AB与x轴不垂直时，设直线l的方程为y?kx?m，
?y?kx?m?22222?,得m?k?由?x2得(3k?1)x?6kmx?3m?3?0 2244?y?1??3则|m|1?k2333?x1?x2?|AB|??6km3k?122,x1x2?3(m?1)3k?122222221?k?22(x1?x2)?4x1x2?221?k?2236km2(3k?1)?12(m?1)3k?12 ?12(k?1)(3k?1?m)(3k?1)129k?222?3(k?1)(9k?1)(3k?1)122?3?12k2229k?6k?1
?3?1k2??63?2?3?6?2(k?0)，
当且仅当9k?21k2,即k??33时,|AB|max?2，当k?0时,AB?3,综上所述|AB|max?2
?当|AB|最大时，?AOB面积最大值,S?12?32?2?32
【试题出处】昆明一中2011届高三年级第三次月考数学试题（理科） 【原题】椭圆C：
xa22?yb22?1(a?b?0)的两个焦点为F1、F2，点P在椭圆C上，且PF1?F1F2，
PF1?43，PF2?143.(1) 求椭圆C的方程；(2) 若直线l过圆x2?y2?4x?2y?0的圆心M，交
椭圆C于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程. 【解析】(1) 2a?PF1?PF2?6 ∴a?3 ?1分
又F1F222?PF22?PF12?20∴F1F2?25?2c ∴c?5 ?3分
故b?a?c?4?4分 ∴椭圆C的方程为
22x29?y24?1 ?5分
(2) 圆的方程可化为：(x?2)2?(y?1)2?5，故圆心M(?2,1) 所求直线方程为y?k(x?2)?1?? 6 分
联立椭圆方程，消去y，得(4?9k2)x2?(36k2?18k)x?36k2?36k?27?0 7分
x1?x2218k2∵A、B关于M对称∴
8???9k24?9k??2 ??8分
?l:8x?9y?25?0????10分 9【试题出处】2010-2011学年度第一学期晋中市高三四校联考数学试题（文） 【原题】如图，已知椭圆
x2a2?y2b2?1(a＞b＞0)的离心率为
22∴k?，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点
F1,F2为顶点的三角形的周长为4(2?1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异
于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D.
k2?1； （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明k1·[来CD恒成立？若存在，求?的值；若不存在，请说（Ⅲ）是否存在常数?，使得AB?CD??AB·
明理由.
【解析】（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为
ca?22，得a?2c，又2a?2c?4(2?1)，所以可解得
a?22，c?2，所以b?a?c?4，所以椭圆的标准方程为
222x28?y24?1；所以椭圆的焦点坐标为
（?2，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为
x242?y24 ?1。
（Ⅱ）设点P（x0，y0），则k1=
y0x0?2，k2=
2y0x0?2，所以k1·k2?y0x0?2?y0x0?2y02=
2y02x0?4，又点P
（x0，y0）在双曲线上，所以有
x042?y04k2??1，即y0?x0?4，所以k1·22x0?4=1。
（Ⅲ）假设存在常数?，使得AB?CD??AB·CD恒成立，则由（Ⅱ）知k1·k2?1，所以设直线AB的方程为y?k(x?2)，则直线CD的方程为y?1k(x?2)，
[来源学科网Z.X.X.K]
?y?k(x?2)?由方程组?x2y2消y得：(2k2?1)x2?8k2x?8k2?8?0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
??1?4?8则由韦达定理得：x1?x2??8k222k?1,x1x2?8k?82k?122,
所以|AB|=1?k?(x1?x2)?4x1x2=2242(1?k)2k?122，同理可得
|CD|=1?()?(x1?x2)?4x1x2=k142(1?2''21k2)2?1k2=
42(1?k)k?222，
?11|AB|CD，所以有??又因为AB?CD??AB·?1|CD|=2k?142(1?k)22+k?242(1?k)22
=3k?342(1?k)22?328，所以存在常数??328CD恒成立。 ，使得AB?CD??AB·【试题出处】2010年高考山东卷理科
【原题】已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点。（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？
若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。
【解析】（1）依题意，可设椭圆C的方程为
xa22?yb22，从而?1(a>0,b>0)，且可知左焦点为F（-2，0）
22?c=2?c=222有?，解得，又a=b+c?'?a=4?2a=|AF|+|AF|=3+5=82，所以b?12，故椭圆C的方程为
2x16?y12 ?1。
3?y=x+t?3?2（2）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=x+t，由?2得3x2+3tx+t2-12=0， 22?x+y=1??161222因为直线l与椭圆有公共点，所以有??（3t)-4?3(t-12)?0，解得?43?t?43，
另一方面，由直线OA与l的距离4可得：|t|94?1=4，从而t=?213，由于?213?[?43,43]，
所以符合题意的直线l不存在。
【试题出处】2010年高考福建卷理科 【原题】已知椭圆
xa22?yb22?1(a＞b＞0)的离心率e?32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为
4。(Ⅰ)求椭圆的方程：(Ⅱ)设直线l与椭圆相交于不同的两点A,B。已知点A的坐标为(-a，0)，点Q(0，
????????y0)在线段AB的垂直平分线上，且QA?QB=4。求y0的值。
【解析】（1）解：由e?1ca?3222222，得3a?4c，再由c?a?b，得a?2b
2?a?2bx2?y?1 由题意可知， ?2a?2b?4,即ab?2解方程组? 得 a=2,b=1所以椭圆的方程为
24?ab?2(2)解：由（1）可知A（-2,0）。设B点的坐标为（x1,,y1）,直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x+2),
?y?k(x?2)?A,B两点的坐标满足方程组?x2由方程组消去Y2?y?1??42222于是并整理，得
(1?4k)x?16kx?(16k?4)?0由?2x1?216k?41?4k2k1?4k222,得x1?2?8k1?4k22,从而y1?4k1?4k2,
设线段AB是中点为M，则M的坐标为(?以下分两种情况：
8k1?4k2,)