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习题7
7.1 晶体具有哪些宏观特征？这些宏观特征与晶体的微观结构有何联系？
答：（单）晶体外形为凸多面体，常呈现出一定的对称性。属于同一品种的晶体，两个对应晶面（或晶棱）间的夹角恒定不变。晶体是各向异性的，即沿空间不同方向物理量取值不同。晶体具有固定的熔点。
晶体外形上的规则性反映着内部分子（原子）间排列的有序。晶态固体的内部，至少在微米量级的范围是有序排列的，这叫做长程有序。晶体有固定的熔点也是因为在熔化过程中，晶态固体的长程序解体时对应着一定的温度。
7.2 图为一个二维的晶体结构，每一个黑点代表一个化学成分相同的原子。请画出原胞和布喇菲格子。
解：原胞应有以下特点：
（1）对于二维结构应有二个独立方向； （2）在每个方向取完整的一个周期； （3）作为重复单元其面积最小。
所以原胞的取法不是唯一的，这里画出两种取法。
原胞1 原胞2
从结构图看出，黑点间不是等间距的，一个完整周期中有两个黑点。这就是说，虽然黑点代表的原子的化学成分相同，但在晶体中的地位不同，故区分为两类粒子，只要取出一类粒子的位置作为结点的位置就可以了，所以布喇菲格子由下图所示：
7.3设晶格常数（立方体晶胞边长）为a，问简立方、面心立方、体心立方的最近邻和次近邻格点数各为多少？距离多大？
答：简立方分别为6个和12个，距离为a和
2a；面心立方分别为12个和6个，距离为
22a
1
和a；体心立方分别为8个和6个，距离为
32a和a。
7.4具有笛卡尔坐标(n1,n2,n3)的所有点形成什么样的布喇菲点阵？如果 (a) ni全为奇数或者ni全为偶数的点的集合； (b) 满足
?nii为偶数的点的集合。
答：(a)原点的笛卡尔坐标(0,0,0)，以它为起点向三个坐标轴方向平移偶数个单位，这些点的笛卡尔坐标(n1,n2,n3)全为偶数，它们构成边长为2的简立方点阵。同理，以(1,1,1)为起点向三个坐标轴方向平移偶数个单位，其笛卡尔坐标(n1,n2,n3)全为奇数，也构成边长为2的简立方点阵。两套点阵套构成体心立方（坐标为偶数的点为顶角，为奇数的点为体心）。 (b)
?nii为偶数则有两种情况，三个坐标全为偶数，或一个偶数两个奇数。前者构成面心立方（边
长为2）的顶角点，后者构成面心立方的面心点，如(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(2,1,1),(1,2,1),(1,1,2)。所以
7.5 试证：体心立方格子的倒格子为面心立方格子。
证：体心立方正格子基矢 a1?因为a2?a3?a2?nii为偶数的坐标点的集合构成面心立方。
a2(-i?j?k)，a2?a2(i-j?k)，a3?a2(i?j-k).
4(2j?2k)?a22(j?k)
故原胞体积 ??a1?[a2?a3]?倒格子基矢b1?类似可得b2?2?[a2?a3]???2?a12a
32?a(j?k)
2?[a1?a2]?2?a2?[a3?a1]?(k?i)，b3??(i?j)
与面心立方基矢a1?面心立方。
a2(j?k)，a2?a2(k?i)，a3?a2(i?j)比较可知，上面倒格子是边长等于
4?a的
7.6将原子想象成刚球，刚球占有空间的比例q可作为原子排列是否紧密的量度。试计算简立方、体心立方、面心立方、金刚石各对应的q值。
解：（1）简立方最近邻原子距离d?a，一个刚球占有的体积
43?()，晶胞体积为a，平均一个
2d332
晶胞有1个原子，故q?43?()/a?23233d33?6
43d（2）体心立方最近邻原子距离d?晶胞有2个原子，故q?2?43da，一个刚球占有的体积
3?83?()，晶胞体积为a，平均一个
32?()/a?2223
43d3（3）面心立方最近邻原子距离d?个晶胞有4个原子，故q?4?43da，一个刚球占有的体积
2?6?()，晶胞体积为a，平均一
23?()/a?2343
43d23?16（4）金刚石最近邻原子距离d?
a，一个晶胞有8个原子，故q?8??()/a?33
7.7设原胞基矢a1、a2、a3相互正交，求倒格子基矢。什么情况下，晶面(h k l)与晶轴[h k l] 正交？
解：因为正交，可设a1?a1i、a2?a2j、a3?a3k，且原胞体积??a1a2a3。所以
??????2??2??2??2??2??2??b1?a2?a3?i，b2?a3?a1?j，b3?a1?a2?k
?a2?a3?a1?????????晶轴[h k l]沿R?ha1?ka2?la3，而晶面(h k l)的法线方向为K?hb1?kb2?lb3。如果晶面(h k l)与晶
????RK轴[h k l] 正交，则与平行，即有R?K?0。而
?????????????aaaaaaR?K?i2?kl(2?3)?j2?hl(3?1)?k2?hk(1?2)
a3a2a1a3a2a1所以晶面(h k l)与晶轴[h k l] 正交的充要条件是a1?a2?a3 或由R//K知，Rx/Kx?Ry/Ky?Rz/Kz，得a1?a2?a3
7.8 找出四方体(a=b≠c)和长方体(a≠b≠c)的全部对称操作。
解：（1）设两底面为正方形，侧面为长方形。则两底面中心连线为4次轴，两对侧面中心连线为2次轴。四条侧棱中，两组对棱中心连线各构成一个2次轴。考虑到不动也是对称操作，所以共有转动对称操作 3 + 2×1 + 2×1 + 1=8
由于四方体中心为对称中心，所以转动反演对称操作也有8个，故共有16个对称操作。
C B F D 3
E G ??O A （2）对于长方体，只存在3个2次轴（3对面中心连线），也存在对称中心，对称操作数为 2×（3×1 + 1）=8
7.9 试求金刚石结构中共价键之间的夹角。
解：金刚石结构没见教材图7.1-11，碳原子B1原子周围4个碳原子是A1、A2、A3、A4，各点
aa,44?????不难看出：B1A1?坐标：B1?(aaaaaa,)，A3?(,0,)，A4?(,,0)。
4222222?????a?a?a?a?a?a??i?j?k，B1A2??i?j?k 444444,)，A1?(0,0,0)，A2?(0,a??????????a2故B1A1?B1A2??()，而B1A1?B1A2?4?13a4，所以两者夹角为
??????????1?1????cos[B1A1?B1A2/(B1A1?B1A2)?cos(?)?109.47?10928'
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7.10为什么说不同波矢可以对应于同一格波？
答：格波描写晶体中各原子的集体振动，由于原子的平衡位置构成周期性排列，振动量是原子的位移，所以格波描写的振动点是空间分列点，不同波矢的波动对这些分列点的振动描述可以完全相同。例如，对于一维简单格子，原子振动可写成xn?Ae若q'?q?i(qna??t)，色散关系为??2(?m)1/2|sin(qa2)|。
2?a，则对应的频率?'??，故位移xn'?Aei(q'na??'t)?Aei(qna?2?n??t)?xn，即各原
子的振动完全相同。
7.11周期性边界条件的物理图像是什么？据此对晶格振动可以得出哪些结论？
答：可以用不同的物理图像解释周期性边界条件：（1）将一维原子链看成一闭合圆环，由于原子很多，故圆环半径很大。原子振动范围比起圆环周长来是很小的，故仍可看作直线振动。而由于圆环的闭合性，第1个粒子与第N+1个粒子实际为同一粒子，故令x1?xN?1。（2）另一种看法是将许许多多相同的晶体首尾“相连”，使晶格周期性在边界仍保持成立，并假设各块晶体内相对应的粒子运动情况相同。
周期性边界条件直接导致格波的波矢只能取一些分列值，波矢取值的数目与晶体原胞数相同。 4