发布时间 : 星期四 文章选修4-5-2 不等式选讲(1)更新完毕开始阅读a843cf5c5022aaea988f0f76
第2讲 不等式的证明
基础巩固题组 (建议用时：50分钟)
一、填空题
1．(2013·江苏卷改编)已知a≥b＞0，M＝2a3－b3，N＝2ab2－a2b，则M，N的大小关系为________．
解析 2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2) ＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．
因为a≥b＞0，所以a－b≥0，a＋b＞0，2a＋b＞0， 从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，故2a3－b3≥2ab2－a2b. 答案 M≥N
2．已知x＋y＝1，那么2x2＋3y2的最小值是________． ??1?2?1?2?
?? ?＋? ?? 解析 由柯西不等式(2x＋3y)·
2??3????
2
2
11?2?≥?2x·＋3y·?＝(x＋y)2＝1，
23??
632
∴2x2＋3y2≥5，当且仅当2x＝3y，即x＝5，y＝5时，等号成立． 6
答案 5
3．若3x＋4y＝2，则x2＋y2的最小值为________，最小值点为________． 解析 由柯西不等式(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2， 4
得25(x2＋y2)≥4，所以x2＋y2≥25. xy
当且仅当3＝4时等号成立，为求最小值点，
- 1 -
6
3x＋4y＝2，x＝???25，?
需解方程组?xy∴?
8＝.??34??y＝25.
8?684?622
，因此，当x＝25，y＝25时，x＋y取得最小值，最小值为25，最小值点为?2525?. ??8?4?6
答案 25 ?25，25?
??
4．若a，b均为正实数，且a≠b，M＝系为________． 解析 ∵a≠b，∴∴∴
ab
＋b＞2a，＋a＞2b， ba
ab
＋，N＝a＋b，则M，N的大小关ba
ab
＋b＋＋a＞2a＋2b， baab
＋＞a＋b.即M＞N. ba
答案 M ＞N
222
5．设a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝9，则a＋b＋c的最小值为________． ?222?
解析 ∵(a＋b＋c)?a＋b＋c?
????
＝[(a)＋(b)＋(c)]????
2
2
2
2?2??＋?a??2?2??＋?b??2?2?
?? c??
?
≥?a·?
222?2
?＝18.
a＋b·b＋c·c?
222222
∴a＋b＋c≥2.∴a＋b＋c的最小值为2. 答案 2
6．已知a，b，c为正实数，且a＋2b＋3c＝9，则3a＋2b＋c的最大值为________． 解析 ≤3a＋2b＋c＝3 a＋2b＋
1
3c 3
1??
?3＋1＋3?（a＋2b＋3c）＝39，故最大值为39. ??39
答案
- 2 -
7．(2013·陕西卷)已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________．
解析 由柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时“＝”成立，得(am＋bn)(bm＋an)≥(am·an＋bmbn)2＝mn(a＋b)2＝2. 答案 2
18
8．已知x2＋2y2＋3z2＝17，则3x＋2y＋z的最小值为________． ?21?2?2? 解析 ∵(x＋2y＋3z)?3＋（2）＋???
?3???
2
2
2
≥(3x＋2y·2＋3z·12
)＝(3x＋2y＋z)2， 3
当且仅当x＝3y＝9z时，等号成立．
∴(3x＋2y＋z)2≤12，即－23≤3x＋2y＋z≤23. 93333
当x＝－17，y＝－17，z＝－17时， 3x＋2y＋z＝－23，∴最小值为－23. 答案 －23
9．已知a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，则3a＋1＋3b＋1＋3c＋1的最大值为________．
解析 法一 利用基本不等式
(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)2＝(3a＋1)＋(3b＋1)＋(3c＋1)＋23a＋1·3b＋1＋23b＋1·3c＋1＋23a＋1·3c＋1≤(3a＋1)＋(3b＋1)＋(3c＋1)＋[(3a＋1)＋(3b＋1)]＋[(3b＋1)＋(3c＋1)]＋[(3a＋1)＋(3c＋1)] ＝3[(3a＋1)＋(3b＋1)＋(3c＋1)]＝18， ∴3a＋1＋3b＋1＋3c＋1≤32， ∴(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)max＝32. 法二 利用柯西不等式
∵(12＋12＋12)[(3a＋1)2＋(3b＋1)2＋(3c＋1)2]≥(1·3a＋1＋1·3b＋1＋1·3c＋1)2
∴(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)2≤3[3(a＋b＋c)＋3]．
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又∵a＋b＋c＝1，∴(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)2≤18， ∴3a＋1＋3b＋1＋3c＋1≤32.
当且仅当3a＋1＝3b＋1＝3c＋1时，等号成立． ∴(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)max＝32. 答案 32 二、解答题
111
10．设a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，求证：a＋b＋c≥9. 证明 法一 ∵a，b，c均为正数，∴1＝a＋b＋c≥ 311113
3abc.又a＋b＋c≥3abc＝，
3abc3
13?111?
∴?a＋b＋c?·1≥3·3abc＝9. ??3
abc111
即a＋b＋c≥9.
法二 构造两组数：a，b，c；因此根据柯西不等式有
??1?2?1?2?1?2?
[(a)＋(b)＋(c)]?? ?＋? ?＋? ??
?b??c????a?
2
2
2
111
，，. abc111?2?≥?a×＋b×＋c×?.
abc???111?
即(a＋b＋c)?a＋b＋c?≥32＝9.
??
abc(当且仅当1＝1＝1，即a＝b＝c时取等号)
abc111
又a＋b＋c＝1，所以a＋b＋c≥9. 11．设不等式|2x－1|＜1的解集为M. (1)求集合M；
(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．
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解 (1)由|2x－1|＜1得－1＜2x－1＜1， 解得0＜x＜1.所以M＝{x|0＜x＜1}． (2)由(1)和a，b∈M可知0＜a＜1，0＜b＜1， 所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)＞0. 故ab＋1＞a＋b.
12．已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1，1]． (1)求m的值；
111
(2)若a，b，c大于0，且a＋2b＋3c＝m，求证：a＋2b＋3c≥9. (1)解 ∵f(x＋2)＝m－|x|， ∴f(x＋2)≥0等价于|x|≤m.
由|x|≤m有解，得m≥0且其解集为{x|－m≤x≤m}． 又f(x＋2)≥0的解集为[－1，1]，故m＝1.
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(2)证明 由(1)知a＋2b＋3c＝1，且a，b，c大于0， ?111?a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)?a＋2b＋3c?
???2ba??3ca??3c2b?＝3＋?a＋2b?＋?a＋3c?＋?2b＋3c?
??????≥3＋22ab2ab＋2
3caa·3c＋23c2b2b·3c＝9.
1
当且仅当a＝2b＝3c＝3时，等号成立．因此a＋2b＋3c≥9.
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