发布时间 : 星期三 文章2020届内蒙古呼和浩特市高三上学期质量普查调研考试数学(文)试题(解析版)更新完毕开始阅读a88a3aa911a6f524ccbff121dd36a32d7275c743
①-②整理得an?an?1?2
an?2n?1，所以bn?1. 2n?1(2)设cn?1?bn?1bn?1
(2n?1)(2n?1)所以b1b2?b2b3?...?bnbn?1?1?111111?????...???? 2?35572n?12n?1?1?11????? 2?32n?1?令
1?11?1?????0，解得n?10 2?32n?1?7所以n的最大值为9. 【点睛】
本题主要考查了an与Sn的递推关系，裂项相消法，等差数列的定义，属于中档题. 20．（1）当??k??k?z?时，求证：tan?2?1?cos?；
sin?（2）如图，圆内接四边形ABCD的四个内角分别为A、C、D.若AB?6，BC?3，B、
CD?4，AD?5.求tanABCD?tan?tan?tan的值. 2222
【答案】（1）证明见解析（2）
410
3【解析】（1）根据正余弦的二倍角公式从左边向右边即可化简证明（2）ABCD为圆的内接四边形可知sinA?sinC，sinB?sinD，cosA??cosC，cosB??cosD，由（1）结论原式可化为定理即可求解. 【详解】
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22?，连接AC、BD，设AC?x，BD?y由余弦sinAsinB（1）证明
1?cos??2?2??tan.
???sin?2sin2?2sin?cos2221?cos2??2sin2?（2）因为ABCD为圆的内接四边形，所以sinA?sinC，sinB?sinD，
cosA??cosC，cosB??cosD，由此可知： tanABCD?tan?tan?tan 2222?1?cosA1?cosB1?cosC1?cosD ???sinAsinBsinCsinD22 ?sinAsinB?连接AC、BD，设AC?x，BD?y由余弦定理可得：
25?36?y29?16?y2，cosC?， cosA?2?5?62?3?436?9?x225?16?x2，cosD?， cosB?2?6?32?5?4解得x?28192472，y?， 19731，cosB?， 719那么cosA?sinA?210610. ，sinB?719410. 3所以原式?【点睛】
本题主要考查了倍角公式的应用，四点共圆对角互补以及正余弦定理的运用，属于难题. 21．己知函数f(x)?12x?ax?(a?1)lnx 2?1?,1?上的零点的个数； 2?e?(1)设a?2时，判断函数f(x)在?(2)当g(x)?f(x)?(a?1)x?lnx，是否存在实数a，对?x1,x2??0,???且x1?x2，
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g(x1)?g(x2)?a?0恒成立，若存在，求出a的范围：若不存在，请说明理由. 有
x1?x2【答案】（1）f(x)在??1?,1?上无零点（2）存在，a的取值范围是[2，+∞) 2?e?【解析】（1）利用导数可知函数f(x)在(0，1)，(1，+∞)单调递增，在(1，a?1)上递减，可得f(x)在?1?1?,1f(1)??a?0可知无零点（2）化简得单调递增且2?2?e?g(x1)?g(x2)12?a?0可得g(x1)?ax1?g(x2)?ax2g(x)?x?(a?2)lnx?x，由
x1?x22（x1?x2?0）恒成立，构造函数h(x)?g(x)?ax，需有h?(x)?g?(x)?a?0恒成立，分离参数求解即可. 【详解】
(1)f(x)的定义域是(0，+∞)
a?1x2?ax?a?1(x?1)(x?1?a) a?2，f?(x)?x?a???xxx令f?(x)?0得到：x1?1，x2?a?1，且x2?x1
所以函数f(x)在(0，1)，(1，+∞)单调递增，在(1，a?1)上递减
?1?因为?2,1???0,1?
?e?所以f(x)在?因为f(1)??1?,1?单调递增， 2e??1?a?0， 2?1?,1?上无零点. 2e??所以f(x)在?(2)因为g(x)?f(x)?(a?1)x?lnx， 所以g(x)?12x?ax?(a?1)x?lnx 212x?(a?2)lnx?x 2化简得g(x)?不妨设x1?x2?0可化为g(x1)?ax1?g(x2)?ax2；
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考查函数h(x)?g(x)?ax则h?(x)?g?(x)?a?0
a?2x2?2x?2 ?a?1?0，整理可得a?即x?xx?1x2?2x?3x2?2x?2令G(x)?，则G?(x)??， 2(x?1)x?1因此G(x)单调递減，所以G(x)?G(x)?2 所以a?2
综上：a的取值范围是[2，+∞) 【点睛】
本题主要考查了利用导数研究函数的单调区间，极值，零点，利用导数证明不等式恒成立，属于难题.
22．在极坐标系中，直线l过点P?2,????2??，且与直线???3???R?垂直.
??（1）设直线l上的动点M的极坐标为??,??，用?表示cos??????； 3?（2）在以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴的直角坐标系中，曲线C的参数方程
?x?cos??为?（?为参数），若曲线C与直线?????R?交于点Q，求点Q的极
3?y?1?sin?坐标及线段PQ的长度.
【答案】（1）cos???????3（2）答案不唯一，具体见解析 ??3??【解析】（1）点M的极坐标为??,??代入直线的极坐标方程即可求解（2）联立曲线与直线即可求解点Q的极坐标，利用两点间距离公式求PQ的长度即可. 【详解】
（1）由已知条件可得：
直线l的极坐标方程为：3?sin???cos??23?0， ∵动点M??,??在直线l上， ∴?cos?????????3， 3?第 16 页 共 18 页