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第七章 组合变形杆的强度
在工程实际中，构件在外力的作用下常常发生两种或两种以上的基本变形。图7.1所示的机架立柱在外力F的作用下将同时产生轴向拉伸和弯曲变形；图7.2所示的传动轴在皮带张力F1、F2和力偶矩M0的作用下将同时产生弯曲和扭转变形。构件同时产生两种或两种以上基本
变形的情况称为组合变形。对于组合变形下的构件，在线弹性、小变形条件下，可先将构件上的外载分解成产生基本变形的简单载荷，分别计算每种基本变形对应的应力、应变和位移，然后利用叠加原理，综合考虑各基本变形的组合情况，确定构件的的危险截面、危险点的位置及危险点的应力状态，并据此进行强度分析。
DeFFM0F2F1F1?F2M0(F1?F2)
图7.1 图7.2
D2
7.1 弯曲与拉伸（压缩）的组合 截面核心
弯曲与拉伸（压缩）的组合变形是工程中常见的情况。例如起重吊车的横梁、台钻与压力机的立柱等。这种组合变形又分为两种情况，一种是既有横向力又有轴向力作用下的拉（压）弯组合变形；另一种是由偏心拉（压）引起的组合变形。 一、 横向力与轴向力同时作用时的拉（压）弯组合变形
考虑图7.3a所示的矩形截面杆。杆件在自由端受轴力F1和纵向对称面内的横力F2的共同作用。轴向力F1使杆产生轴向拉伸变形，各横截面的轴力相同，即FN?F1。由FN引起的横截面上的正应力均匀分布（图7.3b）；横力F2使杆发生平面弯曲变形，距左端x的横截面上的弯矩Mz(x)?F2(l?x)，由此引起的弯曲正应力分布如图7.3c。所以该横截面上任一点的正应力为两者的代数和（图7.3d）
第七章 组合变形杆的强度
119 ?????????FNMzy （7-1a） ?AIzmax固定端面为危险截面，其内力有轴力FN?F1 ，弯矩Mz?F2l。截面上边缘各点和下边缘各
点分别有最大拉应力和最大压应力，且都处于单向应力状态，其强度条件为
??FNMzmax??[?] （7-1b） AWz若与xy平面垂直的xz平面内也作用有弯矩My（图7.3e），则横截面上任一点的正应力为
??FNMzyMyz （7-1c） ??AIzIy
图7.3
例7.1简易起重机如图，AB横梁为工字钢，若最大吊重F?10kN，材料的许用应力为[?]?100MPa。试选择工字钢的型号。
解：取横梁AB为研究对象，如图b所示。由?MA?0，得
FCD?3F?30kN
作AB横梁的轴力图和弯矩图（图c、d），所以危险截面是C的左邻面，其上的内力为：轴力，弯矩M?10kN·m。由于钢是拉压等强度材料，因此危险点为截面的下边缘各FN?26kN（压）点，强度条件为
??FNM??[?] AW上式中的各量均取其数值。选择工字钢型号时，可先不考虑轴力的影响进行初选。即
120 第七章 组合变形杆的强度
M10?103Wz???0.1?10?3m3=100?103mm3 6[?]100?10查附录B的工字钢型钢表，应选№14工字钢，有
Wz?102?103mm3,A?21.5cm2
初选后进行强度校核
FNM26?10310?103??????110MPa?[?] （强度不够）
AW21.5?102102?10?6重选№16工字钢，其Wz?141?103mm3，A?26.1cm2，代入强度条件
FNM26?10310?103??????80.9MPa?[?] 2?6AW26.1?10141?10所以应选№16工字钢。
D(a)A30?C2m1mB(b)A30?FNCDBCFFB26kN(c)FNAC10kNm(d)MACB
例7.1图
二、偏心拉伸与压缩
图7.4a所示顶端受偏心压力的矩形截面短柱。设y、z轴为横截面的对称轴，短柱的轴线为x轴。压力F平行于x轴，其作用点A点的坐标为(yF,zF)。将压力F向截面形心简化，得到一轴向压力F、xy平面内的力偶矩F?yF和xz平面内的力偶矩F?zF。任意横截面（图b）上的内力有轴力FN?F（压）、弯矩Mz?F?yF和My?F?zF。横截面内任一点的正应力为
第七章 组合变形杆的强度
121 ?(y,z)????FF?yF?yF?zF?z?yyzz?F??????1?F2?F2? （7-2） ??A?IzIyA?iziy?????式中iz?IzA,iy?IyA分别是横截面对z轴和y轴的惯性半径。如果令上式为零，可得到中性轴的方程为
1?yFzFy?z0?0 （7-3） 02iz2iy其中(y0,z0)为中性轴上各点坐标。它是一条不过原点的斜直线（图7.4b），在y、z轴上的截距分别为
2iyiz2ay??,az?? （7-4）
yFzF
图7.4
如图7.4b所示，中性轴将截面分成两部分。阴影部分是拉应力区；另一部分是压应力区。最大拉应力和最大压应力发生在离中性轴最远的B点和D点。显然，外力的偏心距（yF,zF）越大，中性轴离截面形心越近。若让中性轴位于截面边缘并与之相切，比如相切于截面的B点时（图7.4b），整个横截面上将只有压应力而无拉应力。因此，如要使横截面上只存在压应力，必须对偏心压力作用点位置（yF,zF）加以限制，使其落在截面形心附近的某一范围，此范围称为截面核心，因为工程结构中的一些承压杆件多由脆性材料（砖、混凝土等）制成，其抗压强度远大于抗拉强度，为避免在横截面上出现拉应力，必须使外压力F作用在截面核心之内。
例7.2图示矩形截面杆受轴向拉力F?12kN，材料的许用应力[?]=100MPa。求切口的容许深度x。已知b?5mm,h?40mm。
解：切口处1-1截面为危险截面，其内力有轴力FN?F，弯矩M?F?x/2。在截面的下边缘各点，有最大拉应力
?max?
FF?x/2 ?AW