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122 第七章 组合变形杆的强度
其中A?b(h?x),W?b(h?x)2/6 由强度条件?max?[?]，得
F3Fx??[?]
b(h?x)b(h?x)21F1xFhb(a)1CMFFN1(b)x2
例7.2图
将b?5mm,h?40mm，F?12kN，[?]=100MPa代入上式后经整理得到
x2?128x?640?0
解之 x?123mm（舍去）和 x?5.21mm 所以切口的容许深度为5.21mm。
例7.3 试求图中所示边长为b和h矩形截面的截面核心，
解：y，z两对称轴为截面的形心主惯性轴。先将与AB边相切的直线①看作是中性轴，其在y，z两轴上的截距分别为
ay1?h， az1?? 22?b2/12，iz2?h2/12，及以上各值代入到式（7-3）将矩形截面的iy，就可以得到与中性轴
①对应的截面核心边界上点1的坐标为
yF1iz2iz2h2/12h?0 ??????， zF1??az1ay1h/26同理，分别将与BC，CD和DA边相切的直线②，③，④看作是中性轴，可求得对应的截面核心边界上点2，3，4的坐标依次为
b??b??h??(yF2,zF2)??0,?;(yF3,zF3)??,0?;(yF4,zF4)??0,??
6??6??6??这样，就得到了截面核心边界上的4个点。当中性轴从截面的一个侧边绕截面的顶点旋转到其邻边时，例如当中性轴绕顶点B从直线①旋转到直线②时，将得到一系列通过B点但斜率不同的中性轴，而B点的坐标yB，zB是这一系列中性轴上所共有的，将其代入中性轴方程（7-3），
第七章 组合变形杆的强度
123 经改写后即得
1?yBzBy?zF?0 F2iz2iy由于上式中的yB，zB为常数，因此该式就可看作是表示外力作用点坐标yF与zF间关系的直线方程。即当中性轴绕B点旋转时，相应的外力作用点移动的轨迹是一条连接点1，2的直线。于是，将1，2，3，4四点中相邻的两点连以直线，即得矩形截面的截面核心边界。它是个位于截面中央的菱形（图中的阴影部分），其对角线长度分别为h3和b3
zD2D8y
例7.3图 例7.4图
例7.4 试求图示直径为D圆截面的截面核心。
解：y，z两对称轴为圆截面的形心主惯性轴，截面的惯性半径为
iz?iy?Iz?AπD4/64D?。
πD2/44图示中性轴切于圆的最右端，在坐标轴上的截距分别为
ay?D,az??， 2由式（7-3）得压力F的作用点
yF??D,zF?0 8由对称性知圆截面的截面核心是以形心为圆心，半径为D/8的圆（图中阴影部分）。
7.2 弯曲与扭转的组合
机械设备中的传动轴，曲柄轴等，大多处于弯曲和扭转的组合变形状态。图7.5a所示为一直角曲拐。由AB段的弯矩图和扭矩图（图7.5d、c）可知，危险截面为固定端A截面，其内力有弯矩M?Fl和扭转T?Fa。由弯曲正应力分布规律知，A截面的上、下两点D1和D2有最大拉应力和最大压应力。由扭转切应力分布规律知，圆周线上有最大扭转切应力。所以危险点为D1和D2，它们均处于平面应力状态（图f，g），其中
124 第七章 组合变形杆的强度
??求得主应力
MT，?? （a）
WpWz????????1??????2,?2?0,?3??????2
22?2??2?应用第三式或第四强度理论，有
?22?r3??2?4?2?[?],?r4??2?3?2?[?] （7-5）
圆截面对任意直径轴的抗弯截面模量都相等，以下简记为W，W?πd3/32。将应力公式（a）代入到式（7-5），注意到圆截面的Wp?2W，得
?r3?M2?T2?[?],WF?r4?M2?0.75T2?[?] （7-6a，b）
WD1Ca??MTAl(a)BD2F(e)T(b)M0?FaD1Mmax?FlM(c)xT?Fa(f)D2x
(d)
图7.5
(g)
对于拉伸（压缩）、弯曲、扭转的组合变形，由于轴力产生的正应力为FN/A，所以截面上最大正应力应为??FN/A?M/W，切应力仍为??T/Wp，主应力强度条件应为
22?T?FNM??T??FNM??r3???????[?],????0.75??r4?AW???WpW?AW????p???2??[?] （7-7a，b） ???2例7.5 钢制实心圆轴如图a所示，齿轮C的节圆直径D1?60mm，其上作用有竖直切向力4kN，径向力1.5kN；齿轮D的节圆直径D2?160mm，其上作用有水平切向力1.5kN，径向力0.56kN。材料的许用应力为[?]?100MPa，试按第四强度理论确定该轴的直径d。
第七章 组合变形杆的强度
125 y(a)zAF1F2F3xB0.12m2F10.12mCDF40.16my(b)F1FAzAFAyTCCF2TDF4F3DBFBzxFByy0.12(c)(d)T(kNm)CAC0.39ACDD0.27D0.0070.106例7.5图
MBzMyMz(kNm)MzB(e)(f)My(kNm)
解：将作用两个齿轮的切向力向其轮心简化集中力和集中力偶矩（图b），故可得使轴产生扭转和在xy、xz两个纵向对称面内发生弯曲的三组外力。然后分别作出轴的扭矩图以及在xy和xz两纵向对称面内的两个弯矩图，如图c、d和e所示。
由于通过圆轴轴线的任一平面都是纵向对称平面，所以当轴上的外力位于相互垂直的两纵向对称平面内时，可将其引起的同一横截面上的弯矩按矢量和求得总弯矩，并用总弯矩来计算该横截面上的正应力。由轴的两个弯矩图（图c、d）可知，横截面C上的总弯矩为最大。
按矢量和求得截面C上的总弯矩MC（图f）为
MC?22MyC?MzC?1062?3902?404N?m
在CD段内各横截面上的扭矩均相同，故截面C是危险截面，其扭矩为
TC?F1?D10.06?4000?=120N?m 22于是，由Mises屈服条件（式（7-6b））