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126 第七章 组合变形杆的强度
2MC?0.75TC2?r4?W?[?]
对于实心圆轴，W?πd3/32，由此可按上式确定轴的直径为
?M2?0.75T2CCd???[?]π/32?????1/3?324042?0.75?1202???π?100?106????0.0349m?34.9mm ??1/37.3 非对称弯曲 弯曲正应力的普遍公式
当梁不具有纵向对称平面，或梁虽具有纵向对称平面，但外力的作用平面与该平面间有一夹角，即发生非对称弯曲时，梁横截面上的弯曲应力就不能按对称弯曲的正应力公式进行计算。下面将导出非对称弯曲梁横截面上的正应力公式。 一、 非对称纯弯曲梁正应力的普遍公式
为了考察非对称纯弯曲的一般情况，设梁的任一横截面如图7.6所示，其中x轴沿梁的轴线，y，z轴分别是横截面上任意一对相互垂直的形心轴。截面上的弯矩M其在y、z轴上的分量My、Mz均用矢量表示。
试验表明，对于非对称纯弯曲梁，平面假设依然成立，且同样可以认为横截面上各点均为单向应力状态。设横截面的中性轴为n?n（其位置尚未确定），与对称弯曲梁正应力的推导类似，在距中性轴n?n为?（图7.6）的任一点处的正应力为
图7.6
??E?? （a） ?式中，E为材料的弹性模量；1/?为梁变形后中性层的曲率。上式表明，非对称纯弯曲梁横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距离成正比，而横截面上的法向内力元素?dA构成一空间平行力系，因此，只可能组成三个内力分量。由静力学关系，可得
??dA?FAN?0，?z?dA?My，?y?dA??Mz （b,c,d）
AA将式（a）代入式（b），得
FN?E?dA?0
??A显然，上式中的E?值不可能为零，因此必有
第七章 组合变形杆的强度
127 ??dA?0
A由上式可见，在非对称纯弯曲时，中性轴n?n仍然通过横截面的形心（图7.6）。若中性轴n?n与y轴间的夹角为?，则由图可见，截面上任一点（dA）到中性轴n?n的距离
??ysin??zcos?
代入式（a），得
??E?(ysin??zcos?) （e）
将其代入式（c）和（d），求合力矩，并根据截面惯性矩、惯性积的定义，分别可得
??A?zdA?E??AE(ysin??zcos?)zdA?E?E(Iyzsin??Iycos?)?My (Izsin??Iyzcos?)??Mz
A?ydA???A(ysin??zcos?)ydA??联立求解以上两式，得
E?cos???MyIz?MzIyz2IyIz?Iyz,
E?sin???MzIy?MyIyz2IyIz?Iyz （f，g）
将以上两式代入式（e），经整理即得非对称纯弯曲梁横截面上任一点处正应力的普遍表达式
??My(zIz?yIyz)?Mz(yIy?zIyz)2IyIz?Iyz （7-8）
上式也称为广义弯曲正应力公式。式中，My和Mz分别为弯矩矢量M在y轴和z轴上的分量；Iy，Iz和Iyz依次为横截面对y轴和z轴的惯性矩及对两轴的惯性积；y和z是横截面上任一
点的坐标。若令上式为零（??0），即可解出中性轴与y轴间的夹角?
tan??MzIy?MyIyzMyIz?MzIyz （7-9）
中性轴位置确定之后，横截面上的最大拉应力和最大压应力将发生在距中性轴最远的点处，如图7.6中D1和D2点处，其位置可作平行于中性轴两直线分别与横截面周边相切而定，将相切点坐标(y,z)分别代入广义弯曲正应力公式（7-8），即可得横截面上最大拉应力和最大压应力。如对于具有棱角的横截面，其最大拉、压应力发生在距中性轴最远的截面棱角处。
确定了梁危险截面上的最大拉应力?tmax和最大压应力?cmax之后，由于这两点处于单向应力状态，于是，可根据正应力强度条件对其进行强度计算。
对于跨长与截面高度之比较大的细长梁，广义弯曲正应力公式（7-8）也可推广至计算非对称横力弯曲梁横截面上的正应力，这也与对称弯曲类似。 二、广义弯曲正应力公式的讨论
128 第七章 组合变形杆的强度
广义弯曲正应力公式（7-8），对于梁不论是否具有纵向对称平面，或外力是否作用在纵向对称平面内，都是适用的。现分别讨论如下。
（1） 梁具有纵向对称平面，且外力作用在该对称平面内
这时My?0，Mz?M，Iyz?0，将它们代入广义弯曲正应力公式（7-8），即得
My Iz???上式即为对称弯曲情况下梁横截面上任一点处的正应力公式。式中的负号是因为图7.6中的Mz?M的方向与中性轴n?n的上方任一点（?dA）设为拉应力而相抵触。
在对称弯曲的讨论中已知，梁的挠曲线必定是外力作用平面（梁的纵向对称面）内的一条平面曲线，这一类弯曲即为平面弯曲。
（2） 梁不具有纵向对称平面，但外力作用在（或平行于）梁的形心主惯性平面内
如图7.7所示的Z字形截面梁，图中y，z轴为横截面的形心主惯性轴，弯矩M?Mz位于形心主惯性平面（xy平面）内。将My?0，Mz?M，Iyz?0代入广义弯曲正应力公式（7-8），同样可得
???yMy IzynM?MyzzMO?MzOn
图7.7 图7.8
上式表明，只要外力作用在（或平行于）梁的形心主惯性平面内，对称弯曲时的正应力公式仍然适用。而由式（7-9）可得
tan???, 即 ??90
这说明中性轴垂直于弯矩所在平面，在图7.7上看，中性轴（z轴）与矢量M的方向重合，即梁弯曲变形后的挠曲线也将是外力作用平面内的平面曲线，属于平面弯曲的范畴。 （3） 梁具有纵向对称平面，但外力的作用平面与纵向对称平面间有一个夹角
?， 如图7.8所示的矩形截面梁，弯矩M与y轴间的夹角为?，将My?Mcos，可得 Mz?Msin?，Iyz?0代入广义弯曲正应力公式（7-8）
第七章 组合变形杆的强度
129 ??Mcos?Msin?z?y IyIz此时，横截面上任一点处的正应力，可视为两相互垂直平面内对称弯曲情况下正应力的叠加（代数和）。应该注意，在此情况下，确定中性轴与轴夹角的公式（7-9）变为
tan??MzIyIy??tan? MyIzIz显然，对于矩形截面等，Iy?Iz，因而???，说明中性轴不再垂直于弯矩所在平面，即当梁弯曲变形后，其挠曲线不在外力作用的平面内，属于斜弯曲；如果Iy?Iz（如圆截面或正方形截面），则有???，属平面弯曲。
例7.6图示跨长为l＝4m的简支梁，由№32a工字钢制成。作用在梁跨中点处的横力F＝33kN，其作用线与横截面铅垂对称轴间的夹角为??15，且通过截面的形心（图a）。已知钢的[?]?160MPa。试校核梁的正应力强度。
(a)Fy?Fzl(b)Fl/4例7.6图
解：由于工字钢截面的y，z轴均为形心主惯性轴，Iyz?0，于是式（7-8）可简化为
??MyzIz?MzyIyIyIz?MyzIy?Mzy （a） Iz显然，上式为两相互垂直对称弯曲下梁横截面上任一点处的正应力表达式。为计算梁危险截面上危险点处的最大拉应力，应按My,max和Mz,max分别作用下，距中性轴y，z均为最远的点来计算，即
?max?My,maxWy?Mz,maxWz （b）
梁危险截面（跨中）上的弯矩值（图b）为
Mmax?
Fl1?(33?103N)(4m)?33kN?m （c） 44