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130 第七章 组合变形杆的强度
其在两形心主惯性轴平面xz和xy内的分量分别为
My,max?Mmaxsin??(33kN?m)sin15?8.54kN?m
Mz,max?Mmaxcos??(33kN?m)cos15?31.9kN?m 从型钢表中查得№32a工字钢的弯曲截面系数
330mm? Wz?692?133?633W6?9?261，0my?70.8?10mm?70.8?10m
将以上数据代入式（b），得危险点处的正应力为
?max?8540N?m31900N?m?=167MPa>[?] （但超过量?5%） ?63?6370.8?10m692?10m可见，梁的弯曲正应力强度刚够。
如F力作用线与y轴重合，即??0，则最大正应力仅为
?max?Mmax33000N?m?=47.7MPa ?63Wz692?10m可见，对于工字钢梁，当外力偏离y轴一很小角度时，就会使最大正应力增加很多。对于这一类截面的梁，由于横截面对两个形心主惯性轴的弯曲截面系数相差较大，所以应该注意使外力尽可能作用在梁的形心主惯性平面xy内，以避免因发生斜弯曲而产生过大的正应力。
例7.7 一Z形型钢制成的两端外伸梁承受均布载荷如图a所示，已知梁截面对形心轴y，z的惯性矩和惯性积分别为Iy?283?10?8m4，Iz?1930?10?8m4和Iyz?532?10?8m4；钢材的
[?]?160MPa。试求许可均布载荷[q]。
例7.7图
解：根据梁的正应力强度条件计算许可均布载荷，为求得绝对值最大的弯矩，作弯矩图（图b）。可见跨中截面C处的弯矩绝对值最大，其值为
Mmax?(0.625m2)q
由于均布荷载作用在xy平面内，故My?0，而Mzm,ax
?Mmax?(0.625m)2q。将Iy，Iz和Iyz第七章 组合变形杆的强度
131 值分别代入式（7-9），便可求出中性轴与y轴间的夹角?值为
tan? =由此得
MzIyMzIyz ?IyIyz283?10?8m4? ?0.53195 532?10?8m4?=28
即中性轴位置如图c中轴n－n所示。中性轴确定后，作两条直线与中性轴平行，分别与截面周边相切于D，E两点，即为截面上的危险点。D，E两点处正应力的绝对值相等。由图c所示尺寸得E点的坐标为
yD?100mm, zE??5mm
按式（7-8），求得梁横截面上的最大正应力，并代入强度条件，有
?max??E?将有关数值代入上式，得
?84?3?84(0.625m2)q??(0.1m)(283?10m)?(5?10m)(532?10m)??Mma(xyEIy?zEIyz)2IyIz?Iyz?[?]
(283?10?8m4)(1930?10?8m4)?(532?10?8m4)2?160MPa
从而解得梁的许可均布载荷
[q]?21.7kN/m
7.4 开口薄壁梁的切应力 剪切中心
在例4.11里讨论了闭口薄壁（对称截面）梁的弯曲切应力，在此基础上，本节将进一步研究开口薄壁（非对称截面）梁的弯曲切应力。
以图7.9a所示的槽形薄壁（壁厚为?）悬臂梁为例，由于整个截面可看成是狭长矩形的变形，故故可应用矩形截面上弯曲切应力的分析方法，假设切应力沿壁厚不变、且其方向平行于截面的周边。为确定切应力的方向，从梁上截取微段dx，其左、右截面上的内力如图b所示，在腹板（截面的竖直部分）上切应力的方向与剪力相同；在上翼缘或下翼缘切取局部（图c），注意到由于翼缘很薄，故可认为其上的正应力?沿翼缘厚度不变，且其值与翼缘中线上的正应力相同。由平衡条件，可得
F?dMy????dx?dF??(d?)dA???dx?dA?SA*A*I?dxI?*N
图7.9
?FSSz*?A*ydAdx ? ???I?
?
132 第七章 组合变形杆的强度
与矩形截面弯曲切应力的计算公式（4-11）类似，其中Sz*为局部截面（面积为A*）对中性轴的静矩。根据切应力互等，即得上翼缘或下翼缘切应力???1，方向如图c所示。整个截面上的切应力的方向如图d所示。
例7.8 一槽形薄壁梁承受方向平行于腹板的横力作用，其截面尺寸见图a。试分析梁横截面之腹板和翼缘上切应力?1、?2的变化规律，并确定横截面上剪力作用线的位置（剪切中心）。
例7.8图
解：设梁横截面上的剪力向下。先分析腹板部分切应力?1的变化规律。槽形截面可看成是狭长矩形的变形，故可由公式（4-11）计算?1。由图b，距中性轴为y以上部分截面的静矩为
?b?h??h2S??ydA????y2?
A*22?4?*z则
*FSSzF?S ?1?Iz?Iz??b?h?h2FS?h22?2??(?y)?bh??y???? （a）
2242I4???z?可见，?1沿腹板高度也是按抛物线规律变化的（图c）。 其中为Iz整个截面对中性轴的惯性矩。 如令上式中的y = 0（在中性轴上），即得切应力的最大值。
再分析梁横截面翼缘部分的切应力?1。根据本节的分析，截取翼缘上部分截面abcd（图b）面积为??s，它对z轴的静矩为
*Sz??ydA?A*h?s 2其中s为局部动坐标（b≥s≥0）；y为翼缘中线到z轴的距离。于是有
*FSSzFh?sFShs?S? ?2? （b） Iz?Iz?22Iz
第七章 组合变形杆的强度
133 可见，?2沿翼缘长度是按线性规律变化的（图c）。
为确定横截面上剪力作用线的位置，须求出由切向内力元素?1dA、?2dA和分别组成的竖直合力（不妨记为FS?）和水平合力FT（图d）。为此，先求FS?，从式（a）可得
FFS????1?dy?S?h/2Izh/2?b?h?h2FS??h3b?h2?2??(?y)?dy?????FS （c） ??h/2?224I122??z??h/2式中的最后一步是因为Iz??h3/12?b?h2/2；?dy为横截面腹板部分的微面元。可见截面上的剪力主要由腹板承担。附带指出，对于工字形薄壁截面也有相同的情况。
再求横截面翼缘部分上切向内力元素?1dA所组成的合力FT。从式（b）可得
FFT???2?ds?S0Izb?b0FShsFSh?b2 （d） ?ds?2Iz4Iz式中?ds为横截面翼缘部分的微面元。上、下缘的FT指向如图d所示。
由以上分析可知，横截面上的剪力共有三部分，即一个FS和两个FT。其合力的作用线位置即为梁横截面上剪力的作用线位置。由平面力系合成原理可知，上述合力的大小和方向均与，并且FSe?FTh。于是，由式（c），FS（FS?）相同，但其作用线则与FS相隔一段距离e（图e）（d）可得
FThh?FSb2h??? e?FSFS?4Iz?b2h2? （e） ??4Iz?由此即确定了横截面上剪力FS的作用线位置。这一位置称为截面的剪切中心（shearing center）或剪心，也称弯曲中心。由上式可以看出，截面的剪心是截面的几何性质。
研究剪心的位置，对于分析开口簿壁梁的强度和刚度都具有重要意义。例如图7.10所示槽形簿壁梁，当在截面形心C处施加横力F时，梁不仅发生弯曲变形，而且发生扭转变形（图7.10b），这是因为F不通过截面剪心所致。若将F作用到截面的剪心O处， 则外力F与梁内任一截面上的剪力FS（其作用点就在剪心）、弯矩M位于梁的同一纵向平面内（图7.10c），梁只产生弯曲变形。由此可见，只有当外力作用线通过截面剪心时，梁才仅发生平面弯曲变形而不发生扭转变形。因此，为了避免使抗扭性能较差的梁（如开口簿壁梁）发生扭转变形，应尽量避免外力偏离剪心。
(a)xyCMFSxyOCez(b)(c)z FF图7.10