发布时间 : 星期五 文章2019-2020版数学新设计同步人教A版选修2-1讲义：第一章 常用逻辑用语 1.4(1.4.1~1.4.2) Word版含答案更新完毕开始阅读a90e4963690203d8ce2f0066f5335a8103d26685
§1.4 全称量词与存在量词
1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词
学习目标 1.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词.2.了解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性.
知识点1 全称量词和全称命题
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“?”表示.
(2)全称命题：含有全称量词的命题叫做全称命题.全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为?x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”. 【预习评价】
思考 全称命题中的“x，M与p(x)”表达的含义分别是什么？
提示 元素x可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形，相应的集合M是这些元素的某一特定的范围.p(x)表示集合M的所有元素满足的性质.如“任意一个自然数都不小于0”，可以表示为“?x∈N，x≥0”. 知识点2 存在量词与特称命题
(1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“?”表示.
(2)特称命题：含有存在量词的命题叫做特称命题.特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为?x0∈M，p(x0)，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)
成立”.
【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“有些三角形中三个内角相等”是特称命题.( ) (2)在全称命题和特称命题中，量词都可以省略.( )
2
(3)特称命题“?x0∈R，x0＜0”是真命题.( )
提示 (1)命题中含有存在量词“有些”，所以是特称命题，故(1)正确. (2)在特称命题中，量词不能省略，有些全称命题的量词可以省略，即(2)错误. (3)因为?x∈R，x2≥0，所以命题“?x0∈R，x20＜0”是假命题，即(3)错误. 答案 (1)√ (2)× (3)×
题型一 全称量词与全称命题
【例1】 试判断下列全称命题的真假： (1)?x∈R，x2＋2>0； (2)?x∈N，x4≥1；
(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.
解 (1)由于?x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命题“?x∈R，x2＋2>0”是真命题.
(2)由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“?x∈N，x4≥1”是假命题. (3)由于?α∈R，sin2α＋cos2α＝1成立.所以命题“对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1”是真命题.
规律方法 判定全称命题的真假的方法：定义法：对给定的集合的每一个元素x，p(x)都为真，则全称命题为真；代入法：在给定的集合内找出一个x0，使p(x0)为假，则全称命题为假.
【训练1】 试判断下列全称命题的真假：
(1)?x∈R，x2＋1≥2； (2)任何一条直线都有斜率； (3)每个指数函数都是单调函数.
解 (1)由于0∈R，当x＝0时，x2＋1≥2不成立，所以“?x∈R，x2＋1≥2”是假命题.
π
(2)当直线的倾斜角为2时，斜率不存在，所以“任何一条直线都有斜率”是假命题.
(3)无论底数a>1或是0 (2)存在一个四边形不是平行四边形； (3)有一个实数α，tan α无意义； π(4)?x0∈R，cos x0＝2. 解 (1)∵－1∈Z，且(－1)3＝－1<1， 3 ∴“?x0∈Z，x0<1”是真命题. (2)真命题，如梯形. π (3)真命题，当α＝2时，tan α无意义. π (4)∵当x∈R时，cos x∈[－1，1]，而>1， 2 π ∴不存在x0∈R，使cos x0＝2， π ∴“?x0∈R，cos x0＝2”是假命题. 规律方法 判定特称命题真假的方法：代入法：在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真，则特称命题为真，否则命题为假. 【训练2】 试判断下列特称命题的真假： 2 (1)?x0∈Q，x0＝3； 2(2)?x0，y0为正实数，使x20＋y0＝0； (3)?x0∈R，tan x0＝1； (4)?x0∈R，lg x0＝0. 解 (1)由于使x2＝3成立的数只有±3，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方能等于3， 2所以命题“?x0∈Q，x0＝3”为假命题. 222(2)因为x0>0，y0>0，所以x0＋y20>0，所以“?x0，y0为正实数，使x0＋y0＝0”为 假命题. ππ (3)当x0＝4时，tan 4＝1，所以“?x0∈R，tan x0＝1”为真命题. (4)当x0＝1时，lg 1＝0，所以“?x0∈R，lg x0＝0”为真命题. 考查方向 题型三 全称命题、特称命题的应用 方向1 根据特称命题的真假求参数的取值范围 2 【例3－1】 若命题p：存在x0∈R，使ax0＋2x0＋a<0，求实数a的取值范围. 2解 由ax0＋2x0＋a<0，得a(x20＋1)<－2x0， 2∵x0＋1>0， ∴a<－ 1， x0＋x 0 1 当x0>0时，x0＋x≥2， 0 2 ∴0＞－ 1≥－1， x0＋x 0 1 当x0<0时，x0＋x≤－2， 0 2 ∴0＜－ 1≤1， x0＋x 0 x20＋1 2x0＝－2