发布时间 : 星期五 文章2019-2020版数学新设计同步人教A版选修2-1讲义：第一章 常用逻辑用语 1.4(1.4.1~1.4.2) Word版含答案更新完毕开始阅读a90e4963690203d8ce2f0066f5335a8103d26685
∴－
1的最大值为1. x0＋x
0
2
又∵?x0∈R，使ax20＋2x0＋a<0成立， ∴只要a<1，∴a的取值范围是(－∞，1). 方向2 根据全称命题的真假求参数取值范围
【例3－2】 若不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围.
解 ①当m＋1＝0即m＝－1时，原不等式为2x－6<0，不恒成立. ②当m＋1≠0，则
??m＋1<0，??m<－1，???
2
??3（m－1）<0，?Δ<0，?Δ＝（m－1）－4（m＋1）·
?m<－1，13??综上，m<－. 1311?m<－11或m>1，
规律方法 已知含量词的命题真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查.解决此类问题，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路. 解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识，利用函数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围，解题过程中要注意变量取值范围的限制.
【训练3】 (1)已知关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，求实数a的取值范围；
(2)若命题p：1－sin 2x＝sin x－cos x是真命题，求实数x的取值范围. 解 (1)关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，
7?7?解得a≥4，∴实数a的取值范围为?4，＋∞?.
??
(2)由得∴1－sin 2x＝sin x－cos x，
sin2x＋cos2x－2sin xcos x＝sin x－cos x， （sin x－cos x）2＝sin x－cos x，
即|sin x－cos x|＝sin x－cos x， ∴sin x≥cos x.
π5π
结合三角函数图象得，2kπ＋4≤x≤2kπ＋4(k∈Z)，此即为所求x的取值范围.
课堂达标
1.下列命题中全称命题的个数是( ) ①任意一个自然数都是正整数； ②有的等差数列也是等比数列； ③三角形的内角和是180°. A.0
B.1
C.2
D.3
解析 ①③是全称命题. 答案 C
2.下列命题中，不是全称命题的是( ) A.任何一个实数乘以0都等于0 B.自然数都是正整数 C.每一个向量都有大小
D.一定存在没有最大值的二次函数 解析 D选项是特称命题. 答案 D
3.下列特称命题是假命题的是( ) A.存在x∈Q，使2x－x3＝0 B.存在x∈R，使x2＋x＋1＝0 C.有的素数是偶数 D.有的有理数没有倒数
?1?23
解析 对于任意的x∈R，x＋x＋1＝?x＋2?＋4>0恒成立.
??
2
答案 B
4.下列命题中，既是真命题又是特称命题的是( ) A.存在一个α0，使tan(90°－α0)＝tan α0 π
B.存在实数x0，使sin x0＝2 C.对一切α，sin(180°－α)＝sin α
D.对一切α，β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β 解析 含有存在量词的命题只有A，B. 当α0＝45°时，tan(90°－α0)＝tan 45°＝tan α0； π
而sin x0≤1，所以sin x0＝2不成立，故选A. 答案 A
π??
5.已知命题p：?x0∈(－∞，0)，2x0<3x0，命题q：?x∈?0，2?，cos x<1，则下列
??命题为真命题的是( ) A.p∧q B.p∨(綈q) C.(綈p)∧q D.p∧(綈q)
解析 当x0<0时，2x0<3x0不成立， ∴p为假命题，綈p为真命题，
π??
0，而x∈?2?时，cos x<1成立，∴q为真命题. ??答案 C
课堂小结
1.判断命题是全称命题还是特称命题，主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词，有些全称命题不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断.
2.要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题.
3.要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻