发布时间 : 星期六 文章2013新人教A版必修四2.5《平面向量应用举例》word教案更新完毕开始阅读a93a91a50a1c59eef8c75fbfc77da26925c5968f
2.5 平面向量应用举例
[教学目标] 一、 知识与能力：
1. 运用向量方法解决某些简单的平面几何问题. 2. 运用向量方法解决某些简单的物理问题. 二、过程与方法：
经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题和物理问题的过程；体会向量是一种处理几何问题和物理问题的工具；发展运算能力和解决实际问题的能力.
三、情感、态度与价值观：
培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题；树立学科之间相互联系、相互促进的辩证唯物主义观点.
[教学重点]
运用向量方法解决某些简单的平面几何问题和物理问题. [教学难点]
运用向量方法解决某些简单的平面几何问题和物理问题. [教学时数] 2课时． [教学要求]
教师应该引导学生运用向量解决一些物理和几何问题，例如，利用向量计算力使物体沿某方向运动所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行与垂直的位置关系等问题.
[教学过程]
第一课时
一、复习回顾 1． 向量的概念；
2． 向量的表示方法：几何表示、字母表示； 3． 零向量、单位向量、平行向量的概念；
4． 在不改变长度和方向的前提下，向量可以在空间自由移动； 5． 相等向量：长度（模）相等且方向相同的向量； 6． 共线向量：方向相同或相反的向量，也叫平行向量.
7． 要熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能做出已知两个向量的和向量；
8． 要理解向量加法的交换律和结合律，能说出这两个向量运算律的几何意义； 9． 理解向量减法的意义；能作出两个向量的差向量.
10． 理解实数与向量的积的意义，能说出实数与一个向量的积这与个向量的模及方向间的关系；
11． 能说出实数与向量的积的三条运算律，并会运用它们进行计算； 12． 能表述一个向量与非零向量共线的充要条件； 13． 会表示与非零向量共线的向量，会判断两个向量共线.
二、讲授新课
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图像的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来.因此可用向量方法解决平面几何中的一些问题.
例1 证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
证明：设四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AO?OC，BO?OD.uuur1uuur1uuuruuur1uuur1uuurQAB?AC?DB，DC?DB?AC,2222uuuruuur?AB?DC,即AB?DC且AB//DC所以四边形ABCD是平行四边形，即对角线互相平分的四边形是平行四边形.
例2已知DE是?ABC的中位线， 1用向量的方法证明：DE?BC，且DE//BC.2uuur1uuuruuur1uuur证明：易知AD?AB,AE?AC,22uuuruuuruuur1uuuruuurr1uuu所以DE?AE?AD?AC?AB?BC.
221即DE?BC，又D不在BC上，所以DE//BC.2??
例3 用向量方法证明：三角形三条高线交于一点.
uuuruuuruuur证明：设H是高线BE、CF的交点，且设AB?a,AC?b,AH?huuuruuuruuur则有BH?h?a,CH?h?b,BC?b?a,uuuruuuruuuruuurQBH?AC,CH?AB,??h?a?·b??h?b?·a?0uuuruuur化简得，h·?b?a??0?AH?BC所以，三角形三条高线交于一点.例4证明勾股定理，22
在Rt?ABC中，AC?BC，BC?a，AC?b，AB?c，则c?b?a.uuuruuuruuurB证明：由AB?AC?CB，得uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurAB·AB?AC·AC?2AC?CB?CB·CB uuur2uuur2uuur2即|AB|?|AC|?0?|CB|，故c2?b2?a2.C2
A例5已知平行四边形ABCD的对角线为AC、BD.uuuruuuruuuruuur 求证：|AC|2?|DB|2?2|AB|2?|AD|2??uuuruuur2uuuruuur2证明：由|AC|2?AC?AB?ADuuur2uuur2uuuruuur?|AB|?|AD|?2AB?AD,uuuruuur2uuuruuur2 |DB|2?DB?AB?ADuuur2uuur2uuuruuur?|AB|?|AD|?2AB?ADuuur2uuur2uuuruuur得|AC|?|DB|?2|AB|2?|AD|2.??????练习1：用向量方法证明：对角线相等的平行四边形是矩形.
解：如图，四边形ABCD对角线AC、BD交于点O，uuuruuuruuuruuuruuuruuurAB?AO?OB,AD?AO?OD,uuuruuuruuuruuuruuuruuur?AB·AD?AO?OB·AO?OD uuur2uuuruuuruuuruuuruuuruuur?AO?AO·OD?OB·AO?OB·OD?0uuuruuur?AB?AD,即AB?AD，DOBC????A?四边形ABCD是矩形.练习2：用向量方法证明：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
证明：如图平行四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，uuuruuuruuuruuuruuuruuurAB?AO?OB,BC?BO?OCuuuruuuruuur2uuuruuuruuuruuuruuuruuur|AB|2?AO?OB?|AO|2?2AO?OB?|OB|2?|AO|2?|OB|2 uuuruuuruuur2uuuruuuruuuruuuruuuruuur|BC|2?BO?OC?|BO|2?2BO?OC?|OC|2?|BO|2?|OC|2,uuuruuur?|AB|?|BC|，?四边形ABCD是菱形.DOC????AB三、归纳小结与作业
向量是沟通数与形的十分有效的工具，利用向量处理平面几何问题，最重要的是要先在
平面图形中寻找向量的“影子”，然后合理引入向量，并通过向量的运算，达到快捷解题的效果. 布置作业
习题2.5 A组 1、2，B组 3
第二课时
一、引入新课
物理学家很早就在自己的研究中使用向量概念，并早已发现这些量之间可以进行某种运算。数学家在物理学家使用向量的基础上，对向量又进行了深入的研究，使向量成为研究数学和其他科学的有力工具.本节将举例说明向量在解决物理问题中的应用. 二、例题讲解
例1已知两个力f1?i?2j,f2?4i?5（单位：牛）作用于同一质点，j此质点在这两个力的共同作用下，由A?7,0?移动到B?20,15（单位：米），?试求：（1）f1,f2分别对质点所做的功；（2）求f1,f2的合力对质点所做的功.uuur解：AB??13,15?,uuuruuurW1?f1·AB?43,W2?f2?AB??23,f?f1?f2??5,?3?,uuurW?f·AB?20
所以f1和f2所做功分别为43焦和?23焦，它们的合力所做功为20焦.例2如图，求两个力f1、f2的合力f的大小和方向（精确到一位小数）.
解：设f1??a1,a2?,f2??b1,b2?则a1?300cos30??259.8，a2?300sin30??150,b1??200cos45???141.4，b2?200sin45??141.4所以f1??259.8,150?，f2???141.4,141.4?f?f1?f2??118.4,291.4?,f??118.4?2??291.4??314.52
291.4?2.4611118.4因为f的坐标知?是第一象限的角，所以??67?53'.设f与x轴正向夹角为?，则tan??答：两个力的合力是314.5kg，与x轴的正方向的夹角为67?53'，与y轴的夹角为22?7'.例3河水从东向西流，流速为2m/s，一轮船以2m/s垂直水流方向向北横渡，
求轮船实际航行的方向和航速.