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第十二篇 统 计
第1讲 随机抽样
知 识 梳 理
1．简单随机抽样
(1)定义：一般地，从个体数为N的总体中逐个不放回地取出n个个体作为样本(n (2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法． 2．系统抽样的步骤 假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本． (1)采用随机的方式将总体中的N个个体编号； NNN (2)将编号接间隔k分段，当n是整数时，取k＝n；当n不是整数时，从总体中剔除N′ 一些个体，使剩下的总体中个体的个数N′能被n整除，这时取k＝n，并将剩下的总体重新编号； (3)在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号l； (4)按照一定的规则抽取样本，通常将编号为l，l＋k，l＋2k，?，l＋(n－1)k的个体抽出． 3．分层抽样 (1)当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几部分，然后按各部分在总体中所占的比实施抽样，这种抽样方法叫分层抽样． (2)分层抽样的步骤 ①将总体按一定标准分层； ②计算各层的个体数与总体的个体数的比； ③按各层个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量； ④在每一层抽样(可用简单随机抽样或系统抽样)． 辨 析 感 悟 1．对简单随机抽样的认识 (1)(教材思考问题改编)在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性与第几次抽取有关，第一次抽到的可能性最大．(×) (2)从100件玩具中随机拿出一件，放回后再拿出一件，连续拿5次，是简单随机抽样．(×) 2．对系统抽样的理解 (3)系统抽样适用于元素个数较多且分布均衡的总体．(√) (4)要从1 002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平．(×) 3．对分层抽样的理解 (5)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．(×) (6)(2014·郑州模拟改编)某校即将召开学生代表大会，现从高一、高二、高三共抽取60名代表，则可用分层抽样方法抽取．(√) (7)(2013·湖南卷改编)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件、80件、60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝13.(√) [感悟·提升] 两点提醒 一是简单随机抽样(抽签法和随机数法)都是从总体中逐个地进行抽取，都是不放回抽样．如(2)． 二是三种抽样方法在抽样过程中每个个体被抽到的可能性都相等，如(1)、(4)、(5). 学生用书第163页 考点一 简单随机抽样 【例1】 下列抽取样本的方式是否属于简单随机抽样？ (1)从无限多个个体中抽取100个个体作为样本． (2)盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中 任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里． (3)从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验． (4)某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛． 解 (1)不是简单随机抽样．由于被抽取的样本总体的个体数是无限的，而不是有限的． (2)不是简单随机抽样．由于它是放回抽样． (3)不是简单随机抽样．因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取． (4)不是简单随机抽样．因为指定个子最高的5名同学是56名中特指的，不存在随机性，不是等可能抽样． 规律方法 (1)简单随机抽样需满足；①抽取的个体数有限；②逐个抽取；③是不放回抽取；④是等可能抽取． (2)简单随机抽样常有抽签法(适用总体中个体数较少的情况)、随机数表法(适用于个体数较多的情况)． 【训练1】 下列抽样试验：①从某厂生产的5 000件产品中抽取600件进行质量检验；②从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验；③从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验；④从某厂生产的5 000件产品中抽取10件进行质量检验．适合用抽签法的有________． 答案 ② 考点二 系统抽样 【例2】 (2012·山东卷改编)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查．为此将他们随机编号为1,2，?，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为________． 解析 从960人中用系统抽样方法抽取32人，则每30人抽取一人，因为第一组抽到的号码为9，则第二组抽到的号码为39，第n组抽到的号码为an＝9＋30(n－236257 1)＝30n－21，由451≤30n－21≤750，得15≤n≤10，所以n＝16,17，?，25，共有25－16＋1＝10人． 答案 10 规律方法 (1)系统抽样适用的条件是总体容量较大，样本容量也较大． (2)使用系统抽样时，若总体容量不能被样本容量整除，可以先从总体中随机地剔除几个个体，从而确定分段间隔． (3)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定． 【训练2】 (1)从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是________． ①5,10,15,20,25；②3,13,23,33,43；③1,2,3,4,5；④2,4,6,16,32. (2)(2014·临沂模拟)某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号、29号、42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是________ 解析 (1)间隔距离为10，故可能编号是3,13,23,33,43. (2)因为29号、42号的号码差为13，所以3＋13＝16，即另外一个同学的学号是16. 答案 (1)② (2)16 考点三 分层抽样 【例3】 (2014·兰州模拟)某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组) (单位：人) 高一 高二 篮球组 45 15 书画组 30 10 乐器组 a 20 学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样的方法，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a的值为________． 解析 因为答案 30 3012 ＝，所以解得a＝30. 45＋15＋30＋10＋a＋2045＋15