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②分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间； ③统计频数，计算频率，列出频率分布表．画出频率分布直方图．
(4)将频率分布直方图中各个相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来，就得到频率分布折线图．随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线，统计中称之为总体分布的密度曲线，它能够更加精细的反映出总体在各个范围内取值的百分比．
(5)茎叶图不仅能够保留原始数据，而且能够展示数据的分布情况．茎是指中间一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数，在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好．
2．用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数、中位数、平均数
①众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．
②中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．
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③平均数：样本数据的算术平均数，即x＝n(x1＋x2＋?＋xn)．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等． (2)样本方差、标准差 标准差s＝
1222[?x1－x?＋?x2－x?＋?＋?xn－x?]. n
其中xn是样本数据的第n项，n是样本容量，x是平均数．
标准差是反映总体波动大小的特征数，样本方差是标准差的平方．通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差．
辨 析 感 悟
1．对频率分布直方图的认识
(1)在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率．(×) (2)频率分布直方图中各个长方形的面积之和为1.(√) 2．对样本数字特征的认识
(3)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．(√)
(4)一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大．(√)
(5)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次．(×)
(6)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数．(√) (7)在频率分布直方图中，众数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．(×) (8)(2013·湖北卷改编)某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4，则平均命中环数为7，命中环数的标准差为4.(×)
(9)(2014·广州调研改编)10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15,17,14,10,15,19,17,16,14,12，则这一天10名工人生产的零件的中位数是15.(√) [感悟·提升]
1．作频率分布直方图的步骤
(1)求极差；(2)确定组距和组数；(3)将数据分组；(4)列频率分布表；(5)画频率分布直方图．
2．两个防范 一是在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率/组距，而不是频率，如(1)；
二是利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.
学生用书第166页
考点一 频率分布直方图的应用
【例1】 某中学高一女生共有450人，为了了解高一女生的身高情况，随机抽取部分高一女生测量身高，所得数据整理后列出频率分布表如下：
组别 145.5～149.5 149.5～153.5 153.5～157.5 频数 8 6 14 频率 0.16 0.12 0.28 157.5～161.5 161.5～165.5 165.5～169.5 合计 10 8 m M 0.20 0.16 n N (1)求出表中字母m、n、M、N所对应的数值； (2)在给出的直角坐标系中画出频率分布直方图；
(3)估计该校高一女生身高在149.5～165.5 cm范围内有多少人？
审题路线 由频率分布表可以计算出m，n，M，N的值?作频率分布直方图?利用频率分布直方图求值．
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解 (1)由题意M＝0.16＝50，落在区间165.5～169.5内数据频数m＝50－(8＋6＋14＋10＋8)＝4，
频率为n＝0.08，总频率N＝1.00. (2)频率分布直方图如下图：
(3)该所学校高一女生身高在149.5～165.5 cm之间的比例为0.12＋0.28＋0.20＋0.16＝0.76，则该校高一女生在此范围内的人数为450×0.76＝342(人)．
规律方法 解决频率分布直方图的问题，关键在于找出图中数据之间的联系．这些数据中，比较明显的有组距、
频率
，间接的有频率、小长方形的面积，合理使用组距
频率
＝频率，小长方形组距
这些数据，再结合两个等量关系：小长方形面积＝组距×
面积之和等于1，即频率之和等于1，就可以解决直方图的有关问题．
【训练1】 (2013·辽宁卷改编)某班级组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]人．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是________．
解析 第一、第二小组的频率分别是0.1,0.2，所以低于60分的频率是0.3，设班15
级人数为m，则m＝0.3，m＝50. 答案 50
考点二 茎叶图的应用
【例2】 (2013·新课标全国Ⅰ卷)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)，试验的观测结果如下：
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间： 0．6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2．5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间： 3．2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1．6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？ (2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？
解 (1)设A药观测数据的平均数为xA，B药观测数据的平均数为xB， 1
则xA＝20(0.6＋1.2＋2.7＋1.5＋2.8＋1.8＋2.2＋2.3＋3.2＋3.5＋2.5＋2.6＋1.2＋2.7＋1.5＋2.9＋3.0＋3.1＋2.3＋2.4)＝2.3.
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xB＝20(3.2＋1.7＋1.9＋0.8＋0.9＋2.4＋1.2＋2.6＋1.3＋1.4＋1.6＋0.5＋1.8＋0.6＋2.1＋1.1＋2.5＋1.2＋2.7＋0.5)＝1.6.则xA>xB，因此A药的疗效更好．