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高三二轮复习三角函数专题讲座
南京九中震旦校区 徐永忠
1．高考考纲要求
(1)理解任意角的概念、弧度的意义.能正确地进行弧度与角度的换算.
(2)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义.了解余切、正割、余割的定义.掌握同角三角函数的基本关系式.掌握正弦、余弦的诱导公式.了解周期函数与最小正周期的意义.了解奇函数、偶函数的意义. (3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式. (4)能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明.
(5)了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数的简图，理解A、?、?的物理意义.
(6)会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx、arccosx、arctanx表示.
(7)掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题.
2．高考考点分析
纵观2005年全国高考16套数学试题，三角函数作为考查的重要内容，一般是一道小题、一道大题，分值为17分左右，难度中等．以考查三角函数的基础知识为主．加强与向量、数列等知识的综合应用，提高能力要求，成为高考命题的一种趋势．
2．1客观题考点分析
2．1．1三角函数基础知识的考查，以掌握正弦、余弦、正切的定义和同角三角函数的基本关系，掌握正弦、余弦的诱导公式为主，同时考查对周期函数与最小正周期的意义的理解．
例1(2005年全国卷Ⅰ理10) 在?ABC中，已知tan①tanA?cotB?1 ③sin2A?B2?sinC，给出以下四个论断：
②0?sinA?sinB?④cos22
2A?cos2B?1 A?cos2B?sinC
其中正确的是 （A）①③
（B）②④
（C）①④
（D）②③
例2(2005年全国卷Ⅲ理7) 设0?x?2?,且1?sin2x?sinx?cosx,则 (A) 0?x?? (B)
?4?x?7?4 (C)
?4?x?5?4 (D)
?2?x?3?2
例3(2005年江西卷理科5)设函数f(x)?sin3x?|sin3x|,则f(x)为
A．周期函数，最小正周期为
?3
B．周期函数，最小正周期为
D．非周期函数
2?3C．周期函数，数小正周期为2?
1
2．1．2三角公式的考查，以两角和与差的正弦、余弦、正切为重点，尤其重视对二倍角公式的考查．
例4（2005年全国卷Ⅰ（7））当0?x??2时，函数f(x)?1?cos2x?8sinsin2x2x的最小值为
（A）2 （B）23 （C）4 （D）43
1sin2A135例5(2005年全国卷II理7)锐角三角形的内角A、B满足tanA－
A．sin2A－cosB=0
=tanB，则有
B．sin2A+cosB=0 C．sin2A－sinB=0
sin3?sin??D．sin2A+sinB=0
例6(2005年全国卷II理14) 设?为第四象限的角，若，则tan 2? =______________.
2．1．3正弦、余弦、正切的图象和性质的考查，以对称性、单调性、周期性和图象的变换等为重点，并重视对数形结合等数学思想的考查．
例7(2005年全国卷II理4)已知函数y?tan?x在(?
A．0
C．?≥1 D．?≤－1
例8(2005年全国卷II理1) 函数f (x) = | sin x +cos x |的最小正周期是 A．
B．
?2 C．? D．2?
例9(2005年上海卷10) 函数f(x)?sinx?2|sinx|,x??0,2??的图象与直线y?k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是__________．
例10(2005年湖北理7)若sin??cos??tan?(0???
A．(0,?6)
?2),则??
B．(??6,4) C．(??4,3) D．(??3,2)
2．1．4三角函数与向量、函数等知识综合进行考查，难度较大．
例11(2005年江西理11)在△OAB中，O为坐标原点，A(1,cos?),B(sin?,1),??(0,达到最大值时，??
A．
?6?2]，则△OAB的面积
?4
?3 B． C． D．
?2
例12 (2005年浙江8)已知k＜－4，则函数y＝cos2x＋k(cosx－1)的最小值是
A．1 B．－1 C．2k＋1 D． －2k＋1
例13(2005年天津理14)在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(-3,4)，若点C在∠AOB的平分线上且|OC|=2,则OC= .
2．2解答题考点分析
2．2．1以简单三角函数式的化简和求值为重点，考查运用同角三角函数的基本关系以及两角和与差的正弦、余弦、正切公式．
2
例14(2005重庆卷理17)若函数f(x)?1?cos2x4sin(?2?asinx2cos(??x2)的最大值为2，试确定常数a的
?x)值．
例15(2005年福建卷理17) 已知??2?x?0，sinx?cosx?15．
（Ⅰ）求sinx?cosx的值；（Ⅱ）求
sin2x?2sin1?tanx122x的值．
例16（2004年天津卷17）已知tan(?4??)?，（1）求tan?的值；（2）求
6k?1cos(??3sin2??cos?1?cos2?x?22的值． ?例17(2005年广东卷17)化简f(x)?x?2)k6?1cos?(?3)?2x3 sin(3(x?R,k?Z)，并求函数f(x)的值域和最小正周期．
2．2．2以正弦函数为重点，考查三角函数的图象和性质
例18（2005年全国卷Ⅰ17）设函数f(x)?sin(2x??) (?????0),y?f(x)图像的一条对称轴是直线
x??8．
（Ⅰ）求?；（Ⅱ）求函数y?f(x)的单调增区间；
（Ⅲ）证明直线5x?2y?c?0与函数y?f(x)的图像不相切。
例19（2004年重庆卷17）求函数y?sinx?23sinxcosx?cosx的最小正周期和最小值；并写出该函数在
[0,?]上的单调递增区间。
44例20（2005年浙江卷17）已知函数f(x)＝－3sinx＋sinxcosx．
25?62
(Ⅰ) 求f()的值； (Ⅱ) 设?∈(0，?)，f(
?2)＝
14－
32，求sin?的值．
2．2．3以三角形为载体，求三角函数的值，求三角形的内角或边，综合考查三角变换、正
弦定理、余弦定理，以及综合运用三角、平面向量、数列及函数、导数等知识的能力．
例21(2005年湖南卷理16)已知在△ABC中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C的大小．
例22(2005年全国卷Ⅲ理19)△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a，b，c成等比数列，且cosB＝
34．
????????3（1）求cotA+cotC的值； （2）设BA?BC?，求a?c的值。
2 3
例23(2005年湖北卷理18)在△ABC中，已知AB?的值．
463,cosB?66,AC边上的中线BD=5，求sinA
例24(2004年广东卷17) 已知?，?，?成公比为2的等比数列(???0，2??），且sin?，sin?，sin?也成等
比数列．求?，?，?的值．
3．高三二轮复习提示
在现行教材中，三角函数内容有较大删减．同角公式由8个删为3个；删除了余切的诱导公式；删除了半角、积化和差与和差化积公式；删除了反三角函数与简单三角方程的绝大部分内容，只保留了反正弦、反余弦、反正切的意义和符号表示；而简单三角方程的内容只保留由已知三角函数值求角．
三角函数的工具性有所减弱，平面向量、导数的工具性作用替代了三角函数在原教材中的工具性作用．但三角函数作为指数函数、对数函数之后的一类重要函数，重点学习了函数的奇偶性和周期性，使函数的概念和性质得以进一步深化．
因此，在高考中把三角函数作为函数的一种，突出考查它的图象与性质，尤其是形如函数y=Asin(?x+?)的图象和性质．对三角公式和三角变形的考查，或与三角函数的图象与性质相结合，或直接化简求值．在化简求值的问题中，不仅考查考生对相关变换公式掌握的熟练程度，更重要的是以三角变形公式为素材，重点考查相关的数学思想和方法．
3．1重视基础知识的教学，把握好习题的难度
3.1.1近几年的高考试题降低了对三角恒等变形的要求下，逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，将重点转移到对三角函数的图象与性质的考查，对基础知识和基本技能考查上来，加强了对三角函数图象与性质的考查力度．这启发我们三角函数的复习要立足课本、抓好基础、控制难度．
3.1.2在复习中，应立足基本公式，寻求题目条件与结论之间差异，建立联系，以达到消灭差异的目的．
3．1．3“变”为主线． 三角变换包括角的变换、三角函数名称的变换、三角函数次数的变换等，在复习中强化“变”的意识是三角复习的关键，但题目不宜太难，特殊技巧的问题坚决不做，2003年三角题只能作为个别现象．建议各位老师在二轮复习中将教材习题进行归类分析比较，帮助学生进一步熟悉解决三角问题的一般规律性方法，达到举一反三的目的
3．2重视三角函数问题中四类问题的训练
（1）应用常规方法和技巧解决三角式的化简、求值、证明问题，主要掌握三角函数的求值问题； （2）在掌握函数y=sinx、y=cosx、y=tanx、y=Asin(?x+?)，特别是正弦函数的图象与性质的基础上，研究一些三角函数的性质，解题策略一般都是将所要研究的函数化归为只含有一个、一次的三角函数形式； （3）三角形中的三角函数问题；
（4）三角函数与其它知识交汇融合的问题．
4
3．3关注2006年新考试大纲的变化
据说新考试大纲将“理解y=Asin(?x+?)中的A、?、?的物理意义”改为“理解y=Asin(?x+?)的物理意义”，体现了与物理等知识的联系；新大纲还有如下变化：将“掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义”增加为“掌握正弦、余弦、正切、余切的概念”，将“正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质”由了解变为理解．
3．4注意对三角形中问题的复习
由于教材的变动，有关三角形中正弦定理、余弦定理、解三角形等内容提到了高中来学习，加上近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低，所以对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，复习中要重视正弦定理、余弦定理在解三角形问题的作用，但挖掘不要太深．
3．5重视三角函数与其它知识的结合
三角函数与其它知识，特别是与向量等内容的结合可能成为新的命题热点，在复习中要加强训练．
参考文献
1、刘运新等 2005年全国各地高考与模拟数学试题评析——三角函数 2005．21 2、任志鸿等 十年高考分类解析与应试策略(1996——2005)(数学) 南方出版社 2005
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