发布时间 : 星期二 文章全国初中数学竞赛辅导(初3)-第19讲-平面几何中的几个著名定理更新完毕开始阅读ab2b7b872f3f5727a5e9856a561252d380eb20b9
这就是中线长公式．
(2)当AD是△ABC的内角平分线时，由三角形的内角平分线的性质
设a+b+c=2p，得
这就是内角平分线长公式． (3)当AD是△ABC的高时，
AD2=b2-u2=c2-v2．
再由u+v=a，解得
所以
若设AD=ha，则
这就是三角形的高线长公式．当D在BC的延长线上时，用-v代替v，同样可得高线长线公式．
9 / 14
这就是三角形的面积公式．
伦公式
例5 如图3－106．在△ABC中，c＞b，AD是△ABC的角平分线，E在BC上，BE=CD．求证：
AE2-AD2=(c-b)2．
证 为方便起见，设BD=u，DC=v，则BE=v，EC=u．由斯台沃特定理得
所以
因为AD是角平分线，所以
于是
10 / 14
4．托勒密定理
托勒密(Ptolemy，约公元85～165年)是古代天文学的集大成者．一般几何教科书中的“托勒密定理”(圆内接四边形的对边积之和等于对角线之积)，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．
定理 如果四边形内接于圆，那么它的两对对边的乘积之和等于它的对角线的乘积．
证 设四边形ABCD有外接圆O，AC和BD相交于P，∠CPD=α(图3－107)．若四边形ABCD的四边都相等，则四边形ABCD为圆内接菱形，即正方形，结论显然成立．若四边不全相等，不失一般性，设
∥
BD，于是△ABD≌△EDB，从而AD=BE．
又
而 S四边形ABCD=S四边形BCDE， 所以
即
11 / 14
(AD×BC+AB×CD)sin∠EBC=AC×BD×sinα． 由于
∠α=∠DAC+∠ADB=∠DBC+∠EBD=∠EBC， 所以
AD×BC+AB×CD=AC×BD．
说明 (1)托勒密定理可以作如下推广：“在凸四边形ABCD中，
AB×CD+AD×BC≥AC×BD．
当且仅当四边形ABCD是圆内接四边形时，等号成立．” 由此可知，托勒密定理的逆定理也成立．
(2)托勒密定理的证明方法很多，这里采用的是面积证法．还可采用相似三角形或余弦定理证明，请读者自行完成．
例6 如图3－108．过A的圆截平行四边形ABCD的边和对角线分别于P，Q，R，求证：
AP×AB+AQ×AD=AR×AC．
证 连结PQ，PR，QR．在圆内接四边形APRQ中，由托勒密定理得
AP×QR+AQ×PR=AR×PQ．
又因为∠1=∠2，∠3=∠4，所以△PQR∽△CAB，于是
设上面的比值为k，并考虑到BC=AD，有 QR=k·AB，PR=k·AD，PQ=k·CA，于是可推得
12 / 14