发布时间 : 星期六 文章电磁场与电磁波（第4版） 习题第3章要点更新完毕开始阅读ab79119adb38376baf1ffc4ffe4733687e21fc21
3.1 长度为L的细导线带有均匀电荷，其电荷线密度为?l0。（1）计算线电荷平分面上任意点的电位?；（2）利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的电场E，并用E????核对。
解 （1）建立如题3.1图所示坐标系。根据电位的积分表达式，线电荷平分面上任意点P的电位为
?(?,0,0)??L2?l0dz?4??0?2?z?2?L2
L2z L2 ??l0ln(z???2?z?2)4??022
?L2?l0 o P ? ???(L2)?L2?l0ln 224??0??(L2)?L2?
?L2 ?2?(L2)2?L2?l0 ?ln2??0?（2）根据对称性，可得两个对称线电荷元?l0dz?在点P的电场为
?l0?dz??l0dz?edE?e?dE??e?cos?? ?2??0(?2?z?2)2??0(?2?z?2)32题3.1图
故长为L的线电荷在点P的电场为
E??dE?e??L20?l0?dz?
2??0(?2?z?2)32L20?l0z??e?()222??0???z?由E????求E，有
?e??l04??0?L??(L2)22
2?l0?L2??2?(L2)?? E????????ln2??0?????e??l0d?2lnL2??2?(L2)?ln?? ???2??0d???????????1???e?l0???2??0??L2??2?(L2)2??2?(L2)2?????????l0L?e?4??0??2?(L2)2
可见得到的结果相同。
3.3 电场中有一半径为a的圆柱体，已知柱内外的电位函数分别为
??(?)?0?a2???(?)?A(???)cos?? （1）求圆柱内、外的电场强度；
??a??a
（2）这个圆柱是什么材料制成的？表面有电荷分布吗？试求之。
解 （1）由E????，可得到
??a时， E?????0
3－1
??（2）该圆柱体为等位体(??a,??0)，所以是由导体制成的，其表面有电荷分布，电荷面密度为
?S??0enE??a??0e?E??a??2?0Acos?
3.5 一半径为R0的介质球，介电常数为?r?0，其内均匀分布自由电荷?，试证明该介质球中心点的电位为
22?a?a??a时， E??????e?[A(??)cos?]?e?[A(??)cos?]? ???????a2a2?e?A(1?2)cos??e?A(1?2)sin?
2?r?1?2()R0 2?r3?0解 根据高斯定理
?DdS?q，得
S4?r3r?R0时， 4?rD1??
3D1?r?r? 即 D1?， E1???3??3r0r034?R02r?R0时， 4?rD2??
33D1?R0?R03? ， E2? 故 D2?22?03?0r3r2则得中心点的电位为(选无穷远处为电位参考点)
3??R?r0?(0)??E1dr??E2dr??dr??dr?
0R03??R3?r2r0022?R0?R02?r?1?2??()R0
6?r?03?02?r3?03.9 有一半径为a、带电量q的导体球，其球心位于介电常数分别为?1和?2的两种介质的分界面
R0?0R00上，该分界面为无限大平面。试求：（1）导体球的电容；（2） 总的静电能量。
解 （1）由于电场沿径向分布，根据边界条件，在两种介质的分界面上E1t?E2t，故有 E1?E2?E。由于D1??1E1、D2??2E2，所以D1?D2。由高斯定理，得到
D1S1?D2S2?q 即 2?r2?1E?2?r2?2E?q
q2?r2(?1??2)
所以 E?导体球的电位
?(a)??Edr?a??1qqdr?
2?(?1??2)a2?(?1??2)?ar2故导体球的电容
C?（2） 总的静电能量为
q?2?(?1??2)a ?(a)1q2We?q?(a)?
24?(?1??2)a
3－2
3.13 在一块厚度为d的导电板上， 由两个半径分别为r1和r2的圆弧和夹角为?的两半径割出的一块扇形体，如题3.13图所示。求：（1）沿厚度方向的电阻；（2）两圆弧面之间的电阻；(3) 沿?方向的两电极的电阻。设导电板的电导率为?。
解 （1）设沿厚度方向的两电极的电压为U1，则有
E1?U1 dd?U1?22I1?J1S1??(r2?r1)
d2故得到沿厚度方向的电阻为 R1?J1??E1??U1
J r2 ? ? r1 题3.13 图
d U12d? I1??(r22?r12)（2）设内外两圆弧面电极之间的电流为I2，则
I2I?2 S2?rdJIE2?2?2
???rdr2IrU2??E2dr?2ln2
r1??dr1J2?故得到两圆弧面之间的电阻为 R2?U2r1?ln2 I2??dr1（3）设沿?方向的两电极的电压为U3，则有
U3??E3rd?
0?由于E3与?无关，故得
E3?e?U3 ?rJ3??E3?e?S3?U3 ?rr2r1I3??J3e?dS??故得到沿?方向的电阻为 R3??dU3?dU3r2dr?ln ?r?r1U3?? I3?dln(r2r1)(??a)，试求矢量磁位A和磁感应强度B。
3.14 有用圆柱坐标系表示的电流分布J?ez?J0解 由于电流只有ez分量，且仅为圆柱坐标?的函数，故A也只有ez分量，且仅为?的函数，即
?A1?(?z1)???0J0? （??a） ??????A1??2Az2(?)?(?z2)?0 （??a）
??????2Az1(?)?由此可解得
3－3
1Az1(?)???0J0?3?C1ln??D1
9Az2(?)?C2ln??D2
式中C1、D1、C2、D2可由Az1和Az2满足的边界条件确定：
①
??0时，Az1(?)为有限值，若令此有限值为零，故得C1?0、D1?0
?Az1?Az2??a?② 时，Az1(a)?Az2(a)、??a??a
????1??0J0a3?C2lna?D2 911??0J0a2?C2 3a即
由此可解得
C2??故
11331?0J0a，D2???0J0a(?lna)
3331Az1(?)???0J0?3 （??a）
9111Az2(?)???0J0a3ln???0J0a3(?lna) （??a）
333 空间的磁感应强度为
1?0J0?2 （??a） 3?0J0a3 （??a） B2(?)???A2(?)?e?3?3. 19 同轴线的内导体是半径为a的圆柱，外导体是半径为b的薄圆柱面，其厚度可忽略不计。内、外导体间填充有磁导率分别为?1和?2两种不同的磁介质，如题3.19图所示。设同轴线中通过的电流为I，
B1(?)???A1(?)?e?试求：
（1）同轴线中单位长度所储存的磁场能量；
（2）单位长度的自感。
解 同轴线的内外导体之间的磁场沿?方向，在两种磁介质的分界面上，磁场只有法向分量。根据边界条件可知，两种磁介质中的磁感应强度B1?B2?B?e?B，但磁场强度H1?H2。
（1）利用安培环路定律，当??a时，有
2??B0?所以
?0I2?? ?a2a ?2 I B0? 即
?0I? (??a) 22?a 在 a???b区域内，有
b ?1 ??(H1?H2)?I
题3.19图
??(B1?1?B2?2)?I
3－4