发布时间 : 星期一 文章江西省萍乡市2017—2018学年度第二学期期末考试高二数学理科更新完毕开始阅读abbf87a0492fb4daa58da0116c175f0e7dd11939
萍乡市2017—2018学年度第二学期期末考试
高二理科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题（12×5=60分）：DCCAC；DCBBD；DA.
二、填空题（4×5=20分）：13.0；14．x?1；15．0.5；16.．0． 三、解答题（共70分）：
221，an?R,a1?a2?...?an?1，求证：a217. (1)若a1，a2...1＋a2＋…＋an≥.…………………(3分) n
(2)构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2 ………………………………………(6分)
22
＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋a21＋a2＋…＋an
22＝nx2－2x＋a21＋a2＋…＋an，………………………………………………………………(7分) 22因为对一切x∈R，都有f(x)≥0，所以Δ＝4－4n(a21＋a2＋…＋an)≤0,………………(10分)
122从而证得：a2＋a＋…＋a≥.……………………………………………………………(12分) 12n
n18．（1）设f(x)?x2?bx?2c，由A??，要求??b2?8c?0．…………………………(1分) 又b,c?{1,2,3,4,5,6}，
所以b?6时，c?1,2,3,4，b?5时，c?1,2,3；b?4时，c?1；b?3时，c?1．
共9种情况使??b2?8c?0．……………………………………………………………………(3分) 由于f(x)随b,c取值变化，有6×6=36种情况． 故所求的概率为P?91?．……………………………………………………………………(4分) 364（2）由题意得ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5，…………………………………………(5分)
P(ξ?0)?1056182?，P(ξ?1)??，P(ξ?2)??，
3618366369614121P(ξ?3)??，P(ξ?4)??，P(ξ?4)??，………………………………(8分)
3663693618∴ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 3 4 5 P 1 65 182 91 61 91 18……………………………………(10分)
15211135.…………………………………………(12分 Eξ?0??1??2??3??4??5??61896918181119．(1）x?(2?5?8?9?11)?7，y?(12?10?8?8?7)?9，………………………(2分)
55??bxiyi?5xy?i?15?xi2?5xi?152?287?5?7?9??0.56，…………………………………………………(3分)
295?5?7?7??9?(?0.56)?7?12.92，……………………………………………………………(4分) ??y?bxa∴y关于x的回归直线方程y??0.56x?12.92．………………………………………………(5分)
???0.56?10?12.92?7.32， （2）x?10 时，y 预测该店明天的营业额为7320元；……………………………………………………………(7分) （3）由题意，平均数为μ?7，方差为σ2?10，所以X～N(7,10)，………………………(8分) 所以P(3.8?x?7)?1P(3.8?x?10.2)?0.34135，…………………………………………(10分) 211P(0.6?x?3.8)?P(0.6?x?13.4)?P(3.8?x?10.2)?0.1359．………………………(12分)
2220．（1）以相关系数r??(x?x)(yii?1525ii?15i?y)?i625?2?910?0.95，……………(2分)
?(x?x)?(yi?1?y)2因为r?0.75，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系．…………………………………(3分) （2）记商家周总利润为Y元，由条件可知至少需要安装1台，最多安装3台光照控制仪． ①安装1台光照控制仪可获得周总利润3000元；………………………………………………(4分) ②安装2台光照控制仪的情形：
当X?70时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润Y?3000?1000?2000元，1台运行的
概率为
10?0.2；…………………………………………………………………………………(5分) 50当30?X?70时，2台光照控制仪都运行，此时周总利润Y?2?3000?6000元，2台运行的概率为
5?35…………………………………………………………………………………(6分) ?0.8．
50E(Y)?2000?0.2?6000?0.8?5200元．所以，…………………………………………………(7分)
②安装3台光照控制仪的情形：
当X?70时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润Y?3000?2?1000?1000元，其概率为
10?0.2；…………………………………………………………………………………………(8分) 50当50?X?70时，2台光照控制仪都运行，此时周总利润Y?2?3000?1000?5000元，其概率为
35?0.7……………………………………………………………………………………………(9分) 50当30?X?50时，2台光照控制仪都运行，此时周总利润Y?3?3000?9000元，其概率为
5?0.1.…………………………………………………………………………………………(10分) 50所以，E(Y)?1000?0.2?5000?0.7?9000?0.1?4600元．………………………………(11分) 综上可知，为使商家周利润的均值达到最大应该安装2台光照控制仪．…………………(12分)
x21.（1）f??x??e?ax．…………………………………………………………………………(1分)
x0设x0为f?x?在区间?0,2?上的极小值点,故e?ax0?0．…………………………………(2分)
所以f?x0?=e?a?lnx0?1??a?x0?1?x0?lnx0?1?. ………………………………………………(3分)
??设s?x?=a?a?1?x??11??1?， ?lnx?1?(x??0,2?)，则s??x??a??2????2x?xx??x?所以s??x??0，即s?x?在?0,2?上单调递减，…………………………………………………(4分) 故有唯一解x使s(x)?0，观察可得s?1?=0,
即f?x0??0?x0?1．-…………………………………………………………………………(5分)
代入e?x0ax0………………………………………………………………………(6分) ?0可得a?e．
（2）h?x??f??x??f(x)a?g(x)?x22?mx?lnx．因为h??x??x2?mx?1x．……………(7分)
2令h??x??0，即x?mx?1?0，两根分别为x1，x2，则??x1?x2?m，?x1x2?1， ………………………(8分)
又因为h?x1??h?x2??12x12?mx1?lnx1?122x2?mx2?lnx2，
?1?x2212?x2?m?x1?x2??ln?x1x2?1?x22122?x2?x12?x2?ln???x1x2
?lnx1x1x2?1?x221?x22??lnxx12x11?x1x2? ……………………………(9分) ???ln????．?2?x1x2?x22?x2x1?2?1?x12?x2令
11， ?t，由于x1?x2，所以0?t?1． 令?(t)?lnt?(t?（)0?t?1）2tx21112t?t2?1?(t?1)2??（t）??（1?2）???0，所以φ(t)在(0,1)上单调递减，………(10分)
t2t2t22t2所以，?(t)??(1)?0 ……………………………………………………………………………(11分) 所以，h(x1)?h(x2)?0，即h(x1)?h(x2)．……………………………………………………(12分) 22．（1）f(0)?a?1?1，解得a?2.……………………………………………………………(1分) 因为f(x)?2e2x?ex，所以f?(x)?4e2x?ex.…………………………………………………(3分)
所以，f?(0)?3，…………………………………………………………………………………(4分) 所以，y?f(x)在x?0处的切线方程为y?1?3(x?0)，即y?3x?1.………………………(5分)（2）因为f(x)?ae2x?ex，所以f?(x)?2ae2x?ex?ex(2aex?1).…………………………(6分)
当a?0时，2aex?1?0，有f?(x)?0，此时，f(x)在(??,??)上为减函数．……………(7分) 当a?0时，令f?(x)?0有x??ln2a，…………………………………………………………(8分) 所以，f(x)在(??,?ln2a]上单调递减，在(?ln2a,??)上单调递增． ……………………(10分)