发布时间 : 星期六 文章拓扑学更新完毕开始阅读abcb058ea0116c175f0e4811
例:设X和Y是两个拓扑空间, f:X→Y是一个连续映射,证明如果X是一个可分空间,则f(x)也是可分的.
证明: X是一个可分空间,则存在D?X,使得D?X且D是可数集,则
f?1(D)?X,f?1?1(D)?f(X).因为f:X→Y是一个连续映射,所以
?1f(f(D))?f(X),f(f(D))?f(f(X))即f(D)?f(X),f(D)?f(X)所以
f(D)是f(x)的一个稠密子集.又因为f是连续的, D是可数集,所以f(D)也
是一个可数集.
ⅳ 可分空间的一些其它其它性质
定理: 设X是离散空间,X是Lindeloff空间 ?X含可数多个点?X是可分空间.
证明:离散空间X的每个子集是开集,所以若X含有可数多个点则X一定是Lindeloff空间.反之,若X是Lindeloff空间,则所有单点集构成的X的开覆盖有可数子覆盖,所以X含有可数多个点.
若X含有可数多个点, X显然是可分空间.反之,若X是可分空间,则X的一个可数子集的闭集是X,因为离散空间任何子集的闭集时其本身,即X的一个可数子集是X,所以X含可数多个点.
定理2.3.5 每一个可分的度量空间都满足第二可数性公理
证明: 设(X,d)是一个可分的度量空间. D是X中的一个可数稠密子集.
1令??{B(x,)x?D,n?Z?},易见?是由X中的开集构成的一个可数族.设yn1∈X,U是y的一个领域,则存在k?Z?,使得B(y,)?U.由于D是X中的
k11一个稠密子集,所以B(y,)?D? ?,任意选取~y?B(y,)?D,如果
2k2k111,于是d(x,y)?d(x,~即x?B(~y,),则有d(x,~y)?y)?d(~y,y)?2k2kk111y?D,所以x?B(y,).因此,我们可以得到:B(~y,)?B(y,)?U.由于~k2kk1B(~y,)??.综合以上所说,我们证明了:对于任何y∈X和y的任何一个领
2k11y,)??使得y?B(~y,)?U所以?是X的一个基. 域U,存在某一个B(~2k2k根据定理2.3.5及推论2.3.2可得到下面推论:
推论2.3.6 可分度量空间的每一个子空间都是可分空间.
第3章 分离性公理
3.1 T0, T1, T2空间
ⅰ 定义
定义3.1.1(T0分离公理) 对拓扑空间X的不同两点X1,X2 ,存在其中一点的领域不包含另外一点(例如x1的领域U(x1)使x2?U(x1)).以上叙述称为T0 分离公理,满足T0 分离公理的拓扑空间称为T0 空间.
定义3.1.2(T1分离公理) 对拓扑空间X的不同两点X1,X2,存在点x1的领域U(x1)使x2?U(x1),点x2的领域U(x2)使x1?U(x2).以上叙述称为T1分离公理,满足T1分离公理的拓扑空间称为T1空间.
定义3.1.3(T2分离公理) 对拓扑空间X的不同两点X1,X2,存在点x1的领域U(x1),点x2的领域U(x2),使U(x1)?U(x2)= ?,以上叙述称为T2分离公理或Hausdorff公理,满足公理的空间称为T2空间或Hausdorff空间 ⅱ T0, T1, T2相互蕴涵关系
我们由T0、T1空间的定义知道T1空间当然是T0空间，但反之不然，例如：设X={a,b,c},规定X的开集为?,{a},{a,b},{a,c}和X,则X为一个拓扑空间.易见,
X是T0空间.因为对于点a,c而言,含点c的开集必含点a,所以X不是T1空间．
同样有定义可知T2空间一定是T1空间，反之不然，例如：设X是一个包含着无限多各点的有限补空间,由于X中的每一个有限子集都是闭集,所以它是一个T1空间.然而在拓扑空间X中任何两个非空的开集一定会有非空的交,这是因为X中每一个非空开集都是X中的有限子集的补集,而X又是一个无限集的缘故.由此可见X必然不是一个T2空间．
ⅲ 拓扑性质
定理: T1空间的每一个子空间都是T1空间
证明：设X是一个T1空间，Y是X的一个子空间.对于任意的x、y?Y,x?y,
因为Y是X的一个子空间,所以x、y?X.由于X是T1空间,所以在X中有x的开
~~~领域U使得y?U.令U?U?Y,则y?U,则U是x在Y的一个开领域.所以Y也是一个T1空间.
定理: T2空间的每一个子空间都是T2空间
证明: 设X是一个T2空间, Y是X的一个子空间.设x、y?Y,x≠y.首先在X中有x的开集A且A?Y?A1则y?A1,同理有y的开集B,使得x?B且
~B?Y?B1则x?B1.由于X是一个正则空间,所以A1、B分别在X中有开领域U~~~~~和V,使得U∩V=?.令U=U∩Y和V=V∩Y,它们分别是x、y在子空间Y中的开领域,显然U∩V=?.
定理:X1?X2??Xn是Hausdorff空间当且仅当每个拓扑空间
Xi{i?1,2,?,n}是Hausdorff空间.
??X1证明:我们只需证明n=2的情形.设X1?X2是Hausdorff空间,对于x1,x1?,x2)为X1?X2的不同点,有不相交领为不同的两点.任取x2?X2,则(x1,x2),(x1??U2?.容易看出,U1,U1?是x1,x1?在X1中的不相交领域,即X1是域U1?U2,U1Hausdorff空间.同理X2也是Hausdorff空间.
?,x2?)为X1?X2的两个不同点,反之,设X1,X2都是Hausdorff空间.(x1,x2),(x1?,使x1∈U1, ?,因为X1是Hausdorff空间,则有X1的不相交开集U1和U1不妨设x1≠x1?,x2?)的不相交领域,所以X1×X2是?∈U1?,因此U1?X2,U2?X2是(x1,x2) ,(x1x1Hausdorff空间.
定理 设X和Y是两个拓扑空间, f:X→Y是一个满的连续映射,如果X是T2空间,则Y也是一个T2空间.
证明:设x,y∈Y,x≠y, U、V分别是点x、y处的一个开领域.因为f:X→Y是一个满的连续的映射,所以在拓扑空间X中有,f?1(x)和f?1(y)分别有开
领域f?1(U), f?1(V),又因为X是T2空间,所以有f?1?1(U)∩f?1(V)=?.因f是满
的连续映射,所以f(f空间.
(U))?f(f?1(V)) = ?即U∩V=?. 所以Y也是一个T2我们从这个定理可以看出T2空间是一个拓扑不变的性质.与以上证法相似我们也容易证明T0空间和T1空间也是一个拓扑不变性质的. 定理3.1.3 T2空间中的任何一个收敛序列只有一个极限点
证明: 设{xi}是T2空间中的一个序列,并且有limxi?y1和limxi?y2其中
i??i??y1?y2于是对于j=1,2,点yj有一个开领域Vj,使得V1?V2=?.故存在Nj＞0使
得当i?Nj时有xi?Vj.任意选取M?max{N1,N2}.可见xM?V1?V2,故V1?V2非空,这是一个矛盾.
定理3.1.1 下列论断等价: ⑴X是T0空间;
⑵ 对X的不同两点X1,X2 ,或者x1?{x2},或者x2?{x1}; ⑶ 对X的不同两点X1,X2具有不同的闭包{x1},{x2}.
证明: ⑴?⑵ 设x1?{x2}及x2?{x1}同时成立,则x1的任何领域包含x1 ,不满足⑴.
⑵?⑴ 设x1?{x2},则存在x1 的领域U(x1)使x2?{x1} ⑵?⑶ 显然
⑶?⑵ 设x1?{x2},x2?{x1}同时成立,亦即{x1}?{x2},{x2}?{x1},从而有
{x1}?{x2}?{x2}，同理{x2}?{x1},故有{x1}?{x2},不满足(3).
定理3.1.2 设X是一个拓扑空间,则以下条件等价: ⑴X是一个T1空间;
⑵X中每一个单点集都是闭集; ⑶X中每一个有限子集都是闭集.
证明: ⑴?⑵ 设x?X,当X是一个T1空间时,对于任何y∈X,y≠x,点y有一个领域U使得x?U,即U∩{x}=?,因此y?{x},从而{x}?{x}.这证明