发布时间 : 星期五 文章【解析】湖北省武汉市武昌区2018-2019学年高二下学期期末考试数学(理)试题更新完毕开始阅读abe10c1b5ff7ba0d4a7302768e9951e79a896936
【详解】（1）因为?cos?A?C???cosA?2sinA?cosC?0，所以
sinA?sinC?2cosC??0，
即sinC?2cosC，
由三角函数的基本关系式，可得1?cos2C?4cos2C，解得cosC?225． 52（2）因为CA?CB?2CD，所以CA?CB?2CA?CBcosC?4CD, 所以CA?5?25CA?所以S?ABC?25?4?2，解得CA?1． 51CA?CBsinC?1． 2【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，平面向量的运算，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．
19.如图，三棱锥P?ABC中，PA?PB?2，CA?CB?25，AB?22，PC?4。
（1）求证：AB?PC；
（2）求二面角P?BC?A的余弦值。 【答案】(1)见证明；(2) 【分析】
（1）取AB的中点D，连结PD，CD．推导出AB⊥PD，AB⊥CD，从而AB⊥平面PCD，由此能证明AB⊥PC．
2 3 - 13 -
（2）作PO⊥CD交CD于O，作PE⊥BC，连结OE．推导出PO⊥AB，从而PO⊥平面ABC，由三垂线定理得OE⊥BC，从而∠PEO是所求二面角P﹣BC﹣A的平面角，由此能求出二面角P﹣BC﹣A的余弦值．
【详解】（1）取AB的中点D，连结PD，CD.
因为PA?PB，CA?CB，所以AB?PD，AB?CD，所以AB?平面PCD， 因为PC?平面PCD，所以AB?PC.
（2）作PO?CD交CD于O，又由PO⊥AB，所以PO⊥平面ABC， 作PE?BC，连结OE，
根据三垂线定理，可得OE?BC，所以?PEO是所求二面角P?BC?A的平面角， 求得PE?44，PO?， 535， 3在直角?PEO中，则sin?PEO?2所以cos?PEO?1?sin?PEO?2． 3
【点睛】本题主要考查了线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
x2y2220.已知椭圆E:2?2?1(a?b?0)的离心率为，焦距为2。
ab2（1）求椭圆E的方程；
（2）设O为坐标原点，过左焦点F的直线l与椭圆E交于A、B两点，求OAB的面积的最大值。
- 14 -
x22【答案】(1) ?y2?1 (2)
22 【分析】 （1）由
c2，2c?2，又由a2?b2?c2，解得a,b，即可求得椭圆的方程； ?a2（2）设出过焦点的直线方程代入椭圆方程，利用一元二次方程跟与系数关系得出交点纵坐标的关系，继而表示△OAB的面积，利用基本不等式求最值． 【详解】（1）由
c2，2c?2，又由a2?b2?c2，解得a?2，b?1， ?a2x2所以椭圆E的方程为?y2?1．
2（2）设过F??1,0?的直线方程为x?my?1，
代入椭圆E的方程，化简得m?2y?2my?1?0，显然???． 设A?x1,y1?，B?x2,y2?， y1?y2??2?22m?1yy?，. 12m2?2m2?222?m2?1?4?2m??2从而y1?y2??2??22. 2m?2m?2???m?2?所以S?OAB1?OF?y1?y2?22?m?2??1. ?m?2?222令t?m2?2?2，
112?11?1则S?2??2??2???????，当t?2，即m?0时取等号. tt2?t2?4所以?OAB面积的最大值为
22. 2【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．
- 15 -
21.某工厂甲、乙两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下通过日常监控得知，甲、乙两条生产线生产的产品为合格品的概率分别为p相2p?1?0.5?p?1?.
（1）若从甲、乙两条生产线上各抽检一件产品。至少有一件合格的概率为0.995.求p的值： （2）在（1）的前提下，假设每生产一件不合格的产品，甲、乙两条生产钱损失分别为5元和
3元，若从两条生产线上各随机抽检1000件产品。估计哪条生产线的损失较多？
（3）若产品按照一、二、三等级分类后销售，每件可分别获利10元，8元，6元，现从甲、乙生产线各随机抽取100件进行检测，统计结果如图所示。用样本的频率分布估计总体分布，记该工厂生产一件产品的利润为X，求X的分布列并估计该厂产量为2000件时利润的期望值.
【答案】(1) p?0.95 (2) 乙生产线损失较多. (3)见解+析 【分析】
（1）利用对立事件概率公式可得； （2）根据二项分布的期望公式可得；
（3）根据统计图得三个等级的概率，求出随机变量的分布列，利用公式求得期望． 【详解】（1）由题意，知??1??1?p?????1??2p?1????0.995，解得p?0.95. （2）由（1）知，甲生产线产品不合格率为0.05，乙生产线产品不合格率为0.10. 设从甲、乙生产线各随机抽检1000件产品， 抽到不合格品件数分别为X1和X2，则X1
B?1000,0.05?，X2- 16 -
B?1000,0.10?，